Comencemos con la definición más general sobre conjuntos.
Un conjunto (matemáticas) es esencialmente una colección de cualquier tipo de objeto. Estos objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. Aquí hay algunos detalles más :
Un conjunto es una colección finita o infinita de objetos en los que el orden no tiene importancia, y la multiplicidad generalmente también se ignora (a diferencia de una lista o un conjunto múltiple). Los miembros de un conjunto a menudo se denominan elementos y la notación [math] a \ en A [/ math] se utiliza para denotar que [math] a [/ math] es un elemento de un conjunto [math] A [/ math ] El estudio de los conjuntos y sus propiedades es el objeto de la teoría de conjuntos. Las palabras más antiguas para conjunto incluyen agregado y clase de conjunto.
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Fuente: Conjunto – de Wolfram MathWorld
Desde un punto de vista histórico, el estudio de los conjuntos comenzó originalmente con Georg Cantor como una forma de investigar la teoría de las series infinitas. La teoría de conjuntos ha jugado un papel importante en los fundamentos de las matemáticas.
Ahora veamos qué es un grupo.
Un grupo (matemáticas) es una estructura algebraica y un conjunto cerrado bajo ciertas operaciones específicas. Hay un elemento de identidad en el conjunto relacionado con una operación binaria asociativa, y cada elemento tiene un inverso dentro del conjunto.
Para más detalles :
Un grupo [matemática] G [/ matemática] es un conjunto finito o infinito de elementos junto con una operación binaria (llamada operación grupal) que juntos satisfacen las cuatro propiedades fundamentales de cierre, asociatividad, propiedad de identidad y propiedad inversa. La operación con respecto a la cual se define un grupo a menudo se denomina “operación de grupo”, y se dice que un conjunto es un grupo “bajo” esta operación. Los elementos [matemática] A, B, C,… [/ matemática] con operación binaria entre [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] denotada [matemática] AB [/ matemática] forman un grupo si
1. Cierre: si [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son dos elementos en [matemática] G [/ matemática], entonces el producto [matemática] AB [/ matemática] también está en [ matemáticas] G [/ matemáticas].
2. Asociatividad: la multiplicación definida es asociativa, es decir, para todas [matemáticas] A, B, C \ en G [/ matemáticas], [matemáticas] (AB) C = A (BC) [/ matemáticas].
3. Identidad: hay un elemento de identidad [matemáticas] I [/ matemáticas] (también conocido como [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] E [/ matemáticas] o [matemáticas] e [/ matemáticas]) tal que [ matemáticas] IA = AI = A [/ matemáticas] para cada elemento [matemáticas] A \ en G [/ matemáticas].
4. Inverso: debe haber un inverso (también conocido como recíproco) de cada elemento. Por lo tanto, para cada elemento [matemática] A [/ matemática] de [matemática] G [/ matemática], el conjunto contiene un elemento [matemática] B = A ^ {- 1} [/ matemática] tal que [matemática] AA ^ {-1} = A ^ {- 1} A = I [/ matemáticas].
Un grupo es un monoide, cada uno de cuyos elementos es invertible.
Un grupo debe contener al menos un elemento, con el grupo único (hasta el isomorfismo) de un solo elemento conocido como grupo trivial.
El estudio de grupos se conoce como teoría de grupos. Si hay un número finito de elementos, el grupo se llama grupo finito y el número de elementos se llama orden de grupo del grupo. Un subconjunto de un grupo que está cerrado bajo la operación de grupo y la operación inversa se llama subgrupo. Los subgrupos también son grupos, y muchos grupos que se encuentran comúnmente son, de hecho, subgrupos especiales de algún grupo mayor más general.
Fuente: Grupo – de Wolfram MathWorld
Consulte también los siguientes enlaces relevantes:
¿Qué se establece? – Definición de WhatIs.com
ÁLGEBRA ABSTRACTA EN LÍNEA: Grupos
