¿209 es especial? Es un palíndromo … en la base 13. Y las bases 18, 208 y 210, más trivialmente.
Los números cuyas representaciones decimales son palíndromos no son importantes. Aparecen en matemáticas recreativas pero no en matemáticas serias, y lo mismo es cierto para otras restricciones sobre los dígitos. Estos dependen de la base 10. Casi nada de lo que depende de la base 10, que cambiaría si la base fuera 2 o 9, es importante en matemáticas. Las propiedades que dependen de una base particular pueden desencadenar un “¡Oooh, brillante!” respuesta, pero rara vez están conectados con otras propiedades, y dado que no conducen a matemáticas interesantes, los matemáticos aprenden a no dedicarles mucho tiempo. Espere, los números racionales tienen expansiones decimales repetidas, y el conjunto de racionales es un conjunto importante. Esto no es una excepción porque los números racionales también se repiten en bases binarias y otras.
Algo que es matemáticamente más natural es un polinomio palindrómico (también llamado polinomio auto recíproco). Estos son polinomios cuyos coeficientes permanecen iguales cuando se invierten, como [matemática] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 11x ^ 2 + 4x + 1. [/ Matemática] Si p (x) es un polinomio de grado n, entonces su reverso es [matemáticas] x ^ np (\ frac {1} {x}). [/ math] Entonces, si un polinomio es un palíndromo, eso significa que sus valores también tienen un tipo de simetría. Si r es una raíz de p (x), entonces también lo es 1 / r. Estos polinomios son demasiado generales para ser estudiados por sí mismos, pero a veces los polinomios surgen naturalmente y tienen la propiedad de ser palindrómicos.
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Las subsecuencias palindrómicas surgen en el estudio de cuasicristales y estructuras cuasiperiódicas que exhiben simetría local, la forma en que las baldosas de Penrose tienen regiones de simetría rotacional local de 5 veces. Ver palabra de Sturmian.
Las soluciones reales irracionales para las ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros se llaman resultados cuadráticos, y se pueden expresar como [matemáticas] \ frac {a + \ sqrt {b}} {c} [/ matemáticas]. Los surds cuadráticos tienen fracciones continuas preperiódicas simples que le indican sus aproximaciones racionales más eficientes. Por ejemplo, si [matemáticas] x = \ frac {4+ \ sqrt {37}} {7} = 1.44039 [/ matemáticas] entonces
[matemáticas] x = 1 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} {3+ \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {2+ \ cfrac {1} {3 +…}} }}}. [/matemáticas]
Podemos escribir eso como [matemáticas] x = [1; 2,3,1,2,3, …] = [1; \ overline {2,3,1}]. [/ math] Las raíces cuadradas de los enteros casi tienen partes repetidas palindrómicas de sus fracciones continuas simples. Sus fracciones continuas simples son de la forma [matemáticas] [n; \ overline {\ text {palindrome}, 2n}]. [/ math] Por ejemplo, [math] \ sqrt {11074} [/ math] [math] = [105; \ overline {4,3,2,3,1,6,4,6,1,3,2 , 3,4,210}] [/ matemáticas] y la secuencia [matemáticas] 4, 3, 2, 3, 1, 6, 4, 6, 1, 3, 2, 3, 4 [/ matemáticas] es un palíndromo.
