Cómo encontrar los valores mínimo y máximo para [matemáticas] f (x) = x / (1 + x ^ 2) [/ matemáticas] sin puntos críticos y derivadas

Los derivados son increíbles, y debes aprender a usarlos. Sin embargo, si absolutamente debe explorar esta función sin decir “derivado”, puede hacer lo siguiente.

Primero, reconozca que la función es continua en todas partes, por lo que no tenemos que preocuparnos de que vuele hasta el infinito o haga cualquier otra cosa que sea demasiado extraña.

A continuación, observe que [math] f (-x) = – f (x) [/ math] (la función es impar), así que haga lo que haga cuando imite [math] x <0 [/ math] (como una rotación el origen) lo que hace para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, podemos centrarnos en los valores no negativos de [matemáticas] x. [/ Matemáticas]

Vemos algunos puntos de muestra:

[matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1/2) = 2/5 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1) = 1/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (2) = 2/5 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1000) = [/ matemáticas] pequeño

Según estos datos limitados, parece que la función alcanza su punto máximo en [math] x = 1 [/ math] y luego se desvanece en [math] 0 [/ math] en el infinito.

Podemos demostrar fácilmente que este es el caso: veamos cuando [math] f (x) = 1/2 [/ math] ocurre.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {1 + x ^ 2} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-2x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

Entonces, correcto; [matemática] f (x) [/ matemática] logra el valor [matemática] 1/2 [/ matemática] solo en [matemática] x = 1 [/ matemática]. Dado que es continuo, y menor que [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas] en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y en [matemáticas] x = 1000 [/ matemáticas], nunca puede exceder [matemáticas] 1 / 2 [/ math], tampoco. Este es el teorema del valor intermedio: si eres [matemática] 0 [/ matemática] en [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 17 [/ matemática] en [matemática] 0.9 [/ matemática], debes tener estado [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas] en algún lugar entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 0.9 [/ matemáticas], pero no lo está.

Para [math] x [/ math] negativo, la función es claramente negativa, por lo que nunca se va por encima de [math] 1/2 [/ math] ni a la izquierda ni a la derecha de [math] x = 1 [/ math ] Entonces [math] 1/2 [/ math] es el máximo global alcanzado en [math] x = 1 [/ math], y por simetría [math] -1/2 [/ math] es el mínimo global alcanzado en [math] ] x = -1 [/ matemáticas].

[matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-x) = -f (x) [/ matemáticas]

Entonces, considere [math] x> 0 [/ math] primero.

[matemáticas] (x-1) ^ 2 = x ^ 2 + 1-2x \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 1 \ geq 2x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] {x \ over {x ^ 2 + 1}} \ leq {1 \ over 2} [/ math]

Entonces, cuando [matemática] x <0 [/ matemática], [matemática] {x \ over {x ^ 2 + 1}} \ geq - {1 \ over 2} [/ math]

[math] max = {1 \ over 2} \\ min = – {1 \ over 2} [/ math]

Primero considere la siguiente función [matemáticas] g (x) = x + \ frac {1} {x} [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que si [matemáticas] x \ gt 0 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] g (x) \ geq 2 \ mbox {y} g (x) = 2 \ Leftrightarrow x = 1 [/ matemáticas] ([matemáticas] g (x) \ geq 2 \ Leftrightarrow \ frac {(x-1) ^ 2} {x} \ geq 0 [/ math])

Ahora observe que su función es impar, continua e igual a [math] \ frac {1} {g (x)}, x \ gt 0 [/ math]. Por lo tanto, x = 1 es el único máximo local y x = -1 es el único mínimo local.

Tenga en cuenta que para grandes [matemáticas] x [/ matemáticas], el denominador es mucho más grande que el numerador, por lo que podemos adivinar que [matemáticas] x [/ matemáticas] no es tan grande. Alternativamente, si [matemática] x [/ matemática] está alrededor de [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] x ^ 2 \ aproximadamente 0 [/ matemática], entonces la fracción entera es aproximadamente [matemática] x [/ matemática] . (Con cálculo, esto es análogo al hecho de que el primer término de la expansión de la serie Maclaurin de [math] f (x) [/ math] es [math] x [/ math]). Entonces, si [math] x [/ math] no es fraccional ni grande, puede adivinar que el máximo está en [math] x = 1 [/ math] y el mínimo está en [math] x = -1 [ /matemáticas]. Esto resulta ser correcto:

x = tan a, ya que tan toma toda la línea real como rango, por lo que no perderemos ningún valor real.

Entonces toda la expresión se reduce a

sin a.cos a

Que es 0.5sin 2a, entonces min es -0.5 y Max es 0.5

Lo que está buscando son los valores extremos de y para los cuales hay al menos una solución para la ecuación 1 / (1 + x ^ 2) = y, es decir, para la ecuación cuadrática:

y * x ^ 2-x + y = 0.

Como seguramente sabe, una ecuación cuadrática de este tipo tiene soluciones si y solo si su discriminante no es negativo, y dado que el discriminante de esa ecuación es

1–4 * y ^ 2

y debe satisfacer la desigualdad

1–4 * y ^ 2 <= 0,

es decir

-1/2 <= y <= 1/2

y listo

min / max de f (x) = max / min de 1 / f (x)

g (x) = 1 / f (x) = x + (1 / x) ≥2 cuando x> 0, por AM≥GM

Xcuando x> 0, g (x) tiene un valor mínimo de 2, entonces f (x) tiene un máximo de 1/2

Por simetría, en virtud del hecho de que g (-x) = – g (x),

y f (-x) = – f (x),

para x <0, g (x) tiene un máximo de -2 yf (x) tiene un mínimo de 1 / -2

o -½