El producto escalar, producto interno o producto de puntos es un producto binario de dos vectores. El producto escalar de dos vectores P y Q es igual al producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] entre ellos:
PQ = [matemáticas] PQ \ cos (\ theta) [/ matemáticas]
PQ es un escalar, no un vector. Las leyes conmutativas y distributivas funcionan para productos de punto.
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- Si [matemáticas] a + b + c = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 3 [/ matemática], ¿cómo encontrarías [matemática] a ^ {- 1} + b ^ {- 1} + c ^ {- 1} [/ matemática]?
Si P = [matemática] P_1 [/ matemática] i [matemática] + P_2 [/ matemática] j [matemática] + P_3 [/ matemática] k y Q = [matemática] Q_1 [/ matemática] i + [matemática] Q_2 [ / matemáticas] j + [matemáticas] Q_3 [/ matemáticas] k , entonces:
PQ = [matemáticas] P_1Q_1 + P_2Q_2 + P_3Q_3 [/ matemáticas]
PP = [matemáticas] P ^ 2 = P ^ 2_1 + P_2 ^ 2 + P ^ 2_3 [/ matemáticas]
QQ = Q [matemáticas] ^ 2 = Q ^ 2_1 + Q_2 ^ 2 + Q ^ 2_3 [/ matemáticas]
Si PQ = [matemática] 0 [/ matemática] y P y Q no son nulos, los dos vectores son perpendiculares.
Algebraicamente, para x = [matemática] \ left \ langle x_i \ right \ rangle [/ math] e y = [math] \ left \ langle y_i \ right \ rangle [/ math] en el espacio euclidiano real o en un vector Hermitiano complejo espacio, el producto escalar o punto se expresa como:
[matemáticas] \ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ n x_i \ overset {-} {y} _i [/ math]
Las aplicaciones del producto escalar en física incluyen el trabajo mecánico como el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento ([math] {\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {s}} [/ math]), y flujo magnético como el producto puntual del campo magnético y el área del vector ([matemática] {\ displaystyle \ Phi _ {B} = \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {S} = BS \ cos \ theta} [/ math ]).
El producto cruzado o vectorial de dos vectores P y Q es igual al producto de las magnitudes de P y Q y el seno del ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] entre ellos:
[matemáticas] \ textbf {P} \ times \ textbf {Q} = PQ \ sin (\ theta) \ textbf {n} [/ math]
[math] \ textbf {n} [/ math] es un vector unitario que indica la dirección de [math] \ textbf {P} [/ math] y [math] \ textbf {Q} [/ math].
La dirección del vector [math] \ textbf {R} = \ textbf {P} \ times \ textbf {Q} [/ math] es perpendicular al plano de [math] \ textbf {P} \ times \ textbf {Q }[/matemáticas] .
Si P = Q , o P es paralelo a Q , entonces [math] \ sin (\ theta) = 0 [/ math] y [math] \ textbf {P} \ times \ textbf {Q} = 0 [/ math]
La ley conmutativa falla para los productos de punto:
[matemáticas] \ textbf {P} \ times \ textbf {Q} = – \ textbf {Q} \ times \ textbf {P} [/ math]
La magnitud de [math] \ textbf {P} \ times \ textbf {Q} [/ math] es igual al área del paralelogramo con los lados P y Q.
A continuación se muestra una imagen que ilustra el producto cruzado de dos vectores a y b (imagen gratuita de Wikipedia):
Para dos vectores [math] \ textbf {u} = u_1 \ textbf {e} _1 + u_2 \ textbf {e} _2 + u_3 \ textbf {e} _3 [/ math] y [math] \ textbf {v} = v_1 \ textbf {e} _1 + v_2 \ textbf {e} _2 + v_3 \ textbf {e} _3 [/ math], el producto vectorial [math] \ textbf {u} \ times \ textbf {v} [/ math] es igual al determinante
[matemáticas] \ begin {vmatrix} \ textbf {e} _1 & \ textbf {e} _2 & \ textbf {e} _3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \ end {vmatrix} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ eta ^ {mi} \ varepsilon _ {ijk} u ^ {j} v ^ {k} \ textbf {e} _i [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = (u_2 v_3 – u_3 v_2) \ textbf {e} _1 + (u_3 v_1 – u_1 v_3) \ textbf {e} _2 + (u_1 v_2 – u_2 v_1) \ textbf {e} _3 [/ math ]
[math] \ varepsilon _ {ijk} [/ math] se conoce como el símbolo de permutación o el símbolo de Levi-Civita; [matemáticas] \ eta ^ {mi} = \ delta ^ {mi} [/ matemáticas] para una base ortonormal.
El uso de la convención de suma produce la siguiente relación:
[matemáticas] {\ large \ mathbf {u \ times v} = \ mathbf {w} \ Leftrightarrow \ w ^ {m} = \ eta ^ {mi} \ varepsilon _ {ijk} u ^ {j} v ^ {k }}[/matemáticas]
El producto cruzado o vectorial se usa en tres dimensiones, sin embargo, se puede identificar con el producto exterior.
Las aplicaciones del producto cruzado en física incluyen el momento angular de una partícula sobre un cierto origen:
[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \,} [/ math]
donde [math] \ textbf {r} [/ math] es el vector de posición de la partícula y [math] \ textbf {p} [/ math] es el momento lineal. Otro ejemplo de la física es la fuerza de Lorentz experimentada por una carga eléctrica en movimiento [matemática] {\ displaystyle q_ {e}} [/ matemática]:
[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {F} = q_ {e} \, \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right)} [/ math]
Aquí hay algunos enlaces con detalles y explicaciones más relevantes:
Producto de punto (Wikipedia)
Producto cruzado (Wikipedia)
http://mathworld.wolfram.com/Dot…
http://mathworld.wolfram.com/Cro…
El punto y el producto cruzado
El siguiente video tutorial también es útil:
