En términos simples, ¿cómo es posible la paradoja de Banach-Tarski?

Bueno, es contrario a la intuición en el mundo real, pero creo que cuando lo ves jugando con infinitos, tiene sentido. Ya sabes lo que dice básicamente la paradoja: que puedes dividir una bola en dos bolas sin estirarse ni deformarse.

Bueno, piense en una bola como una nube infinita de puntos. Ahora, puedes sacar otra bola de ella, dejando la mitad de los puntos en la anterior. Por lo tanto, deberías ahora
tener dos bolas, cada una con la mitad de densidad que la original. En el mundo de las matemáticas y los puntos, a diferencia del mundo real de masas, esta media densidad es igual a la densidad total. ¿Cómo es eso? Bueno, las matemáticas infinitas no son sencillas.

Una analogía sería preguntar cuántos números naturales hay. Digamos que es un número infinito, llamado N. Ahora, ¿cuántos números pares hay? Tentarías a decir N / 2 pero la respuesta sigue siendo N. Esto se debe a que para cada número natural hay un número par correspondiente que se puede obtener simplemente multiplicando por 2. Por lo tanto, el número de números naturales es igual al número de números pares. Del mismo modo, el número de números impares es igual al número de
números naturales. Como puede ver, hemos dividido los N números naturales
en N números pares y N números impares. Esto me parece intuitivo.
explicación de la paradoja de Banach-Tarski.

El problema es que las piezas en las que divide la pelota son tan extrañas que ni siquiera tiene sentido hablar de su volumen. Entonces no puedes “medir” la nueva bola que has creado. Si piensas en dividir la pelota en pedazos como solo colorear las diferentes piezas, el color que obtienes básicamente se vería estático en una pantalla de televisión antigua: sería completamente caótico.

En lo que respecta a la descomposición real, a diferencia de por qué no hay una paradoja, es bastante más difícil de describir en términos simples.

En la paradoja de Banach-Tarski, se le da el poder de recoger infinitos puntos a la vez, pero solo puede realizar ‘movimientos rígidos’ con ellos, como traducirlos o rotarlos todos a la vez.

Considere un problema ligeramente diferente: cómo hacer que un punto desaparezca de una hoja de papel no muy grande. Usted eligió el punto, llámelo 1 y eligió infinidad de otros puntos en la misma hoja, llamándolos 2,3,4 … Ahora solo cambie 1 a 2, 2 a 3 y así sucesivamente (como los huéspedes tienen que cambiar en el hotel de Hilbert) . ¡Todo lo que has hecho es cambiar los puntos del papel y hacer que uno de los puntos desaparezca! Pero esto puede no parecer muy sorprendente, porque un punto tiene 0 área.

Observe cómo tuvo que hacer un número infinito de turnos arriba, ya que cada turno debe ser de diferente longitud (algunos turnos de casi 0 de longitud; la hoja de papel no tiene un tamaño infinito). Por lo tanto, no es posible un pequeño número de movimientos rígidos. ¿Se puede evitar esto si al menos se le da el poder de recoger infinitos puntos a la vez? Sí, por supuesto. Haz un círculo en el papel. Recoge el punto 1 de este círculo. Permaneciendo en el círculo, elija el punto 2 yendo en el sentido de las agujas del reloj 1 radian. Elija el punto 3 yendo en sentido horario una vez más en radianes y siga haciéndolo. Tenga en cuenta que no puede volver a ningún punto anterior, ya que un círculo completo tiene 2 * pi radianes, que es un número irracional y ‘1 radián’ es un número racional. Entonces terminas seleccionando infinitos puntos. Recoge todos estos puntos (tienes el poder) y rota rígidamente 1 radiante de una vez. El punto 1 ya no existe, y es posible con solo un movimiento rígido.

La paradoja de Banach-Taski funciona de esta manera: encuentra una manera de hacer que un área finita en la pelota desaparezca con algunas rotaciones (y como se señaló en la respuesta de Jack Huizenga, esta es la parte técnica que involucra cosas que no son “medible” o su área no se puede definir. Por lo tanto, tendremos que omitirla) . ¡Hay una serie de pequeños movimientos mediante los cuales se puede colocar una bola dentro de cualquiera de las dos regiones cuidadosamente construidas y separadas dentro de esta bola (y estas regiones tienen áreas menores que la bola)! Nombra estas regiones R y S. Entonces es muy fácil ver que puedes tomar dos bolas del mismo tamaño y colocarlas dentro de una de estas bolas: coloca la primera bola dentro de R de la primera bola y la segunda dentro de S de la primera bola. Y esto hace el trabajo porque: podemos colocar dos bolas dentro de una bola y una bola ya está dentro de dos bolas. Entonces, como suele suceder en la teoría de conjuntos (si un conjunto contiene otro conjunto y otro conjunto contiene un conjunto, entonces los dos conjuntos son iguales), algo similar sucede aquí también … puedes colocar una bola exactamente en dos bolas. Observe la diferencia entre ‘exactamente en dos bolas’ y ‘dentro de dos bolas’.

La paradoja de Banach-Tarski no puede explicarse muy bien en términos simples, porque en términos simples cada conjunto de números reales es medible.

Puede decirlo de la siguiente manera: si puede elegir un número real entre 0 y 1 al azar (esto puede ser cualquier intervalo volviendo a escalar), entonces puede determinar el volumen de cualquier conjunto de Monte-Carlo: elija un número real aleatorio nuevamente y nuevamente, y la fracción de tiempo que aterrizas en cualquier conjunto S es la medida de ese conjunto. Esta “definición” es circular en matemática teórica de conjuntos (la medida de un conjunto es la forma en que los matemáticos hablan de probabilidad), pero no es circular intuitivamente. Nuestra intuición dice que podemos elegir un real aleatorio, porque podemos elegir aproximaciones finitas seleccionando dígitos aleatorios, y estas aproximaciones convergen.

Por lo tanto, como laico, puede elegir reales uniformes en una caja que contiene la esfera, y la partición de la esfera en cualquier conjunto, la suma de la medida de los conjuntos debe sumar la medida de la pelota. Entonces, cuando la probabilidad funciona como se espera, el teorema es falso y debe considerarse simplemente falso.

La razón por la que funciona en ZFC ordinario es porque los números reales solo están modelados por la teoría. Cuando tenga un modelo de los números reales producidos por los axiomas, puede enumerar todos los números reales que los axiomas definirán alguna vez, utilizando los símbolos de la teoría. Este listado es lo que produce el teorema de integridad de Godel, y produce una colección contable de puntos que tienen la arrogancia de pensar que son todos los números reales, porque son todos los números reales en el modelo que está considerando. Así es como el teorema de integridad de Godel construye un modelo contable para cualquier teoría de conjuntos. Pero el resultado se conoce como “teorema de Skolem”, o “paradoja de Skolem”, porque Skolem lo hizo primero, usando una reducción teórica modelo usando oraciones en la teoría, en lugar de una prueba de integridad general para la lógica.

El hecho de que solo haya innumerables reales en un modelo contable de ZFC no contradice la afirmación de que los reales son incontables, porque no hay un mapa dentro del modelo desde los reales hasta los enteros. Solo se ve que los reales son contables “desde afuera”, por así decirlo, considerando el modelo en sí. ZFC ni siquiera sabe que tiene un modelo, ya que no puede demostrar su coherencia con el teorema de incompletitud de Godel.

Una vez que comprenda que los teoremas de ZFC no están necesariamente hablando de todos los números reales que podemos imaginar, sino de los números reales en algún modelo que tenga en mente, la paradoja se evapora. Lo que dice este teorema es que puede dividir los innumerables números reales que se encuentran en el modelo y en la esfera en un número finito de colecciones en el modelo, de modo que cuando traduzca y gire adecuadamente, se encuentren en la parte superior del contador muchos números reales en el modelo en dos esferas del mismo tamaño. El resultado ahora no es particularmente contraintuitivo, porque el modelo contable hace obvio que todos estos conjuntos son de medida cero, y el teorema sigue siendo obviamente falso al pensar en todos los números reales, en la intuición normal del día a día, donde no estás No estoy considerando un modelo de algunos sistemas de axiomas.

La formulación adecuada de la idea intuitiva de que la probabilidad siempre tiene sentido es que cada subconjunto de R es medible en Lebesgue. Esto es consistente con ZF con elección dependiente (contable), y el axioma de determinación, pero no con el axioma de elección aplicado a todos los números reales. Entonces lo de Banach Tarski no funciona. Esto es lo que es más intuitivo y también más conveniente para las matemáticas, por lo que creo que es solo cuestión de (poco) tiempo antes de que la gente deje de creer que este chiste de un teorema es absolutamente cierto.

Pero como una declaración sobre modelos contables de los reales producidos a partir de teorías de conjuntos con el axioma de elección, es cierto, pero tampoco es particularmente contraintuitivo.

Cualquier explicación simple / “laica” de esta paradoja se basa en el hecho de que la esfera matemática tiene puntos infinitos (por lo tanto, densidad infinita) mientras que las esferas del mundo real no. Entonces, cuando divide el infinito en cualquier número de divisiones, todas ellas seguirían siendo un infinito en sí mismas. Una “pieza de la esfera” en términos matemáticos es una dispersión de puntos.

Dado que, estrictamente hablando, las dimensiones 1 y 2 no deberían usarse para esta paradoja, esta es mi forma de explicarlo.

Hornee un pastel esférico con una cantidad finita de harina y huevos, pero una “cantidad infinita de levadura” como agente de cultivo. Por lo tanto, la densidad del pastel es infinita.

Ahora deconstruya el pastel de vuelta a sus ingredientes crudos. (Este es mi “axioma de elección”: P). Divide la harina, los huevos y la levadura en dos mitades. Hornea dos pasteles de nuevo. El “volumen” de los pasteles resultantes seguirá siendo igual al pastel original horneado con mayor cantidad de harina y huevos, porque la cantidad infinita de levadura en los pasteles nuevos aún les permitirá elevarse al mismo nivel que el pastel original, con La misma densidad infinita.

Es el mismo mecanismo que en el ‘big bang’, a través del cual se formó este Universo, y continuará formándose.