Aquí hay una lección que aprender: para dos conjuntos que son disjuntos, la cardinalidad de su unión es la suma de sus cardinalidades. Más amablemente, podemos decir que la unión disjunta de conjuntos juega el papel de la suma. Entonces, ¿qué pasa con la intersección?
La razón por la cual la unión disjunta actúa como una suma es porque cada “sumando” admite una incorporación canónica en la unión disjunta. Estas incrustaciones nunca se superponen, porque estamos obligando a las cosas a actuar de manera disjunta. Otra forma de caracterizar la unión disjunta es que cualquier función de una unión disjunta está determinada enteramente por sus valores en las inclusiones de cada uno de los sumandos. Si hubo una superposición, entonces podríamos perder información en la intersección no vacía.
Como resultado, la unión dual a disjunta es el producto cartesiano de los conjuntos. Esto satisface la propiedad opuesta: cualquier función en el producto está determinada únicamente por una colección de funciones, una en cada factor.
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¿Dónde encaja la intersección? Bueno, la intersección de dos conjuntos se basa en un conjunto ambiental en el que ambos viven. Solo una vez que especifique un conjunto ambiental para que dos conjuntos vivan juntos, puedo decirle dónde se cruzan. Una vez que todo esto se ha dado, podemos caracterizar la intersección como tal: cualquier mapa en la intersección se especifica completamente por funciones individuales en los factores que coinciden en el espacio ambiental. Esto significa que solo nos importa lo que está sucediendo en las partes de los conjuntos que se cruzan, de ahí la interesección.
La unión disjunta puede tratarse como una operación en conjuntos porque no necesitamos especificar ningún dato adicional, como un conjunto ambiental. Sin embargo, no podemos describir la interesección como una operación en conjuntos porque es realmente una operación sobre inclusiones de conjuntos en un solo ambiente. Eso es más datos que los conjuntos en sí, es solo que a menudo dejamos que esos datos estén implícitos en el lenguaje, por lo que se pasa por alto. Como resultado, no existe una relación universal entre la cardinalidad desnuda de los conjuntos y su intersección (mal definida).
La confusión surge aquí debido a la diferencia entre la teoría de conjuntos estructurales , donde la identidad de los elementos solo tiene sentido dentro de los conjuntos individuales, mientras que las teorías de conjuntos de materiales tratan a todos los elementos como cosas universalmente etiquetadas que pueden vivir en múltiples conjuntos a la vez.
