Hay una buena prueba usando la concavidad de la función ln (x).
Es muy fácil demostrar la concavidad de ln, al ver que su segunda derivada es -1 / x ^ 2, que siempre es negativa.
¿Qué significa la concavidad de una función? Significa que si toma algunos puntos en la gráfica de la función y crea un nuevo punto tal que su coordenada x es el promedio de las coordenadas x de los puntos que eligió, y su coordenada y es el promedio de las coordenadas y de los puntos que eligió, entonces ese punto que hizo está debajo de la gráfica.
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Veamos qué significa esto para ln (x). Si elige los puntos (a_1, ln (a_1)), (a_2, ln (a_2)), (a_3, ln (a_3)) … (a_n, ln (a_n)), obtendrá el punto ((a_1 + a_2 + a_3 … a_n) / n, (ln (a_1) + ln (a_2) + ln (a_3) … ln (a_n) / n), está debajo (o sobre) el gráfico.
Usando leyes de logaritmo muy simples, obtenemos que esto significa que si M es la media aritmética de (a_1, a_2, a_3 … a_n), y N la media geométrica, entonces el punto (M, ln (N)) está debajo (o en) el gráfico.
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Note que si tenemos una función f (x), y el punto (a, b) está debajo de la gráfica, entonces eso significa que (a, b) está debajo (o está) del punto (a, f (a)) y, por lo tanto, que f (a)> = b.
Aplicando este razonamiento al punto (M, ln (N)) y la función ln (x), obtenemos que ln (M)> = ln (N). Elevar e a la potencia de ambos lados te da que la media aritmética de (a_1, a_2, a_3 … a_n) es mayor o igual que la media geométrica de esos números.
QED
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Además, puede probar que la igualdad ocurre solo cuando todos los números son iguales, lo que dejaré como ejercicio para el lector.
