¿Las líneas con pendiente irracional se cruzan con puntos reticulares?

No , aparte de posiblemente una solución trivial (por ejemplo, x = 0, y = 0 si el desplazamiento c es cero, o vea [Nota al pie] para el caso [math] c \ neq 0 [/ math]). Pero usted pidió “soluciones”, lo que implica un infinito (por escala).

(Prueba simple por contradicción: si [math] y = mx [/ math] para algún irracional m tuvo alguna solución en entero [math] x ^ *, y ^ * [/ math] entonces [math] m = y ^ * / x ^ * [/ math] que es racional => contradicción)

Si el desplazamiento c no es cero y es un múltiplo racional de la pendiente m, entonces esa intersección trivial solo ocurre en otro lugar, por ejemplo, [math] y = \ sqrt {2} x – \ sqrt {8} [/ math] tiene su La intersección trivial en [matemática] x ^ * = 2, y ^ * = 0 [/ matemática] pero [matemática] y = \ sqrt {2} x – \ sqrt {5} [/ matemática] no tiene solución.

Si cualquiera de m o c es trascendental y ambos son distintos de cero, entonces puede que ni siquiera haya una intersección: [matemática] y = \ pi x + e [/ matemática]

Matemáticas

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“¿Las líneas con pendiente irracional se cruzan con puntos reticulares?” Una línea con una pendiente irracional se cruza como máximo con un punto reticular. Si intersectara dos puntos de la red [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática], entonces la pendiente sería [matemática] \ frac {y_2-y_1} {x_2- x_1} [/ math], que obviamente es racional. Pero dado un punto de red [matemática] (x, y) [/ matemática] y un número irracional [matemática] m [/ matemática], siempre hay una línea con pendiente [matemática] m [/ matemática] que pasa por [matemática ] (x, y) [/ math]. Podemos encontrar la ecuación de la línea resolviendo [matemáticas] y-mx = b [/ matemáticas]. Por supuesto, [math] b [/ math] también será irracional a menos que [math] x = 0 [/ math]. Por el contrario, si [math] b [/ math] es un número racional distinto de cero, entonces [math] y = mx + b [/ math] no intersectará ningún punto de la red.

John Calligy

Depende. Una línea como [math] y = x \ sqrt {2} +0.5 [/ math] nunca pasará por un punto reticular. Para ver por qué, digamos que pasa por un punto [matemático] (a, b) [/ matemático], donde ayb son enteros. Sabemos que [math] b = a \ sqrt {2} +0.5 [/ math]. Entonces tenemos

[matemáticas] \ frac {b-0.5} {a} = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Lo cual no es posible, ya que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional. Tenga en cuenta que tenemos que verificar si [math] a = 0 [/ math] conduce a alguna solución, que no es así, así que estamos bien.

Mientras tanto, la línea [math] y = x \ sqrt {2} [/ math] pasa por un punto reticular, es decir, el origen.

Ambas líneas tienen una pendiente irracional, por lo que no podemos determinar si una línea general con pendiente irracional pasa a través de un punto reticular.

Aditya Parulekar

Una línea en el plano cartesiano de cualquier pendiente dada [matemática] m [/ matemática] puede intersecar cualquier punto en particular, en particular cualquier punto reticular [matemática] (a, b) [/ matemática], según lo dado por la forma de pendiente del punto de la ecuación lineal, [math] yb = m (xa) [/ math].

Una línea con pendiente irracional nunca puede cruzar dos puntos de la red. Porque si intersecta [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] (c, d), [/ matemática] donde [matemática] a, b, c, d [/ matemática] son enteros, entonces el Pendiente

[matemáticas] m = \ dfrac {db} {ac} [/ matemáticas]

sería racional, contrario a la suposición.

Aditya Parulekar

Cada línea con la ecuación [math] y = ax [/ math] pasa por el origen, al menos algunas lo hacen.

Aditya Parulekar

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