¿La transformación de Fourier es aplicable a las funciones periódicas?

Es; Una de las posibilidades de hacerlo se muestra a continuación (nota: Akhilesh Sreedharan ya ha publicado otro curso de acción, utilizando coeficientes de la Serie Fourier).

Considere [math] T [/ math] como el período de la función (periódica) [math] x (t) [/ math]; usando la sección de [matemática] x (t) [/ matemática] en el intervalo [matemática] [0, T [[/ matemática], que llamaremos [matemática] a (t) [/ matemática], está claro que [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] puede escribirse como

[matemáticas] x (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a (t-nT) [/ matemáticas]

Sea [matemática] A (\ omega) [/ matemática] la transformada de Fourier de [matemática] a (t) [/ matemática]. Entonces, por el teorema cambiante

[matemáticas] a (t-nT) => e ^ {- j \ omega n T} A (\ omega) [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] X (\ omega) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- j \ omega n T} A (\ omega) [/ matemáticas]

Sí, es posible. Pero necesita los coeficientes de la serie de Fourier para expresar la transformación de Fourier de una función periódica y así es como lo hace:

Suponga que [math] x (t) [/ math] es una función periódica, entonces podemos representarla usando la serie exponencial de Fourier como:
[matemáticas] x (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} {C_n e ^ {jn \ omega_ot}} [/ math]

Tomemos ahora la transformada de Fourier de [math] x (t) [/ math]:
[matemática] \ matemática {F} {(x (t))} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} {C_n \ mathcal {F} (e ^ {jn \ omega_ot}}) [/ matemáticas]

Desde la transformada de Fourier de un impulso unitario
[matemáticas] \ matemáticas {F} (\ delta {(t)}) = 1 [/ matemáticas]

Por propiedad de dualidad de la transformada de Fourier
[matemáticas] \ matemáticas {F} (1) = 2 \ pi \ delta {(\ omega)} [/ matemáticas]

Por propiedad de desplazamiento de frecuencia tenemos,
[matemáticas] \ matemáticas {F} (e ^ {jn \ omega_ot}) = 2 \ pi \ delta {(\ omega-n \ omega_o)} [/ matemáticas]

Aplicando estos resultados a la segunda ecuación
[matemáticas] \ matemáticas {F} {(x (t))} = 2 \ pi \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} {C_n \ delta {(\ omega-n \ omega_o)}} [ /matemáticas]

Entonces podemos decir que la transformada de Fourier de una función periódica sería un tren de impulsos en el dominio de la frecuencia.

EDITAR: Acabo de darme cuenta de que escribí [math] e ^ {- jn \ omega_ot} [/ math] en lugar de [math] e ^ {jn \ omega_ot} [/ math].

Las funciones periódicas tienen componentes de Fourier que se localizan en un conjunto de puntos únicos.

Por ejemplo, una onda sinusoidal tiene solo una frecuencia.

Esto debería ser suficiente para decirnos que la transformada de Fourier de una función periódica consiste en funciones en el espacio de Fourier que se parecen a un pico en un solo punto y cero en cualquier otro lugar.

Todos sabemos de tal función (o pseudofunción):

La función Delta de Dirac

Recuerde que cualquier función periódica puede expresarse como la suma de muchas funciones seno y coseno. Por lo tanto, la transformación de Fourier de cualquier función periódica es una colección de funciones delta de Dirac en el espacio de Fourier.

NO, su serie de Fourier es aplicable solo a funciones periódicas y la serie de Fourier de esa función periódica es una señal discreta exponencial o sinusoidal o co-sinusoidal, por lo que el espectro de la serie de Fourier es siempre discreto y, como dije antes, es aplicable solo a señales periódicas entonces uno puede decir que siempre hay una dualidad presente entre la periodicidad y la discreción, o la periodicidad y la discreción son duales …

Y para la transformada de Fourier. no es más que la envoltura de la serie de Fourier y, por lo tanto, hace que la representación del dominio de frecuencia sea más fina, por lo que puede verse como el límite de la serie de Fourier de una función con el período cercano al infinito …

Por lo tanto, FT puede calcularse para señales periódicas y no periódicas

Para señales periódicas FT convierte su FS en dominio de frecuencia y para señales no periódicas FT lo convierte en dominio de frecuencia continua … Entonces, el espectro de FT es continuo y se puede ver que la no periodicidad es el doble de la continuidad.