Esto no es cierto si [matemática] p_1> 0 [/ matemática] y [matemática] q_1 <0 [/ matemática].
[matemáticas] p_ {m + 1} + q_ {m + 1} \ sqrt {r} = \ left (p_m + q_m \ sqrt {r} \ right) \ left (p_1 + q_1 \ sqrt {r} \ right) [/matemáticas]
[matemáticas] = \ left (p_m p_1 + r q_m q_1 \ right) + \ left (p_m q_1 + q_m p_1 \ right) \ sqrt {r} [/ math]
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Si [math] p_m> 0 [/ math] y [math] q_m 0 [/ math] y [math] q_ {m + 1} <0 [/ matemáticas]. Así, por inducción, todas las [matemáticas] p_m [/ matemáticas] son positivas y todas las [matemáticas] q_m [/ matemáticas] son negativas. Por lo tanto, todos [math] \ frac {p_m} {q_m} [/ math] son negativos, por lo que el límite de esta fracción no puede ser positivo, y mucho menos ser [math] \ sqrt {r} [/ math].
¿Qué pasaría si insistiéramos en [matemáticas] p_1> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] q_1> 0 [/ matemáticas]? Resulta que esto tiene una prueba usando álgebra lineal.
[matemáticas] p_ {m + 1} + q_ {m + 1} \ sqrt {r} = \ left (p_m + q_m \ sqrt {r} \ right) \ left (p_1 + q_1 \ sqrt {r} \ right) [/matemáticas]
[matemáticas] = p_m p_1 + [/ matemáticas] [matemáticas] rq_m q_1 + \ sqrt {r} \ left (p_m q_1 + q_m p_1 \ right) [/ matemáticas]
Así:
[matemáticas] p_ {m + 1} = p_m p_1 + r q_m q_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] q_ {m + 1} = p_m q_1 + q_m p_1 [/ matemáticas]
o, en forma de matriz,
[matemáticas] \ left (\ begin {matrix} p_ {m + 1} \\ q_ {m + 1} \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} p_1 & r q_1 \\ q_1 & p_1 \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} p_m \\ q_m \ end {matrix} \ right) [/ math]
Esta matriz tiene valores propios [math] \ lambda_1 = p_1 + q_1 \ sqrt {r} [/ math] y [math] \ lambda_2 = p_1 – q_1 \ sqrt {r} [/ math], con los vectores propios correspondientes [math] v_1 = \ left (\ begin {matrix} \ sqrt {r} \\ 1 \ end {matrix} \ right) [/ math] y [math] v_2 = \ left (\ begin {matrix} – \ sqrt {r} \\ 1 \ end {matrix} \ right) [/ math]. La aplicación repetida de esta matriz al vector inicial [math] \ left (\ begin {matrix} p_0 \\ q_0 \ end {matrix} \ right) [/ math] eventualmente hará que el vector se acerque más y más a ser paralelo (o posiblemente antiparalelo) a cualquiera de los vectores propios que tenga un valor propio * mayor (por valor absoluto). Es decir [matemáticas] v_1 = \ left (\ begin {matrix} \ sqrt {r} \\ 1 \ end {matrix} \ right) [/ math] if [math] p_1> 0 [/ math] and [math] q_1> 0 [/ matemáticas]. Eso muestra el límite deseado.
* Comience en [matemática] p_0 = 1 [/ matemática] y [matemática] q_0 = 0 [/ matemática], que representa [matemática] m = 0 [/ matemática]. Descomponer [matemática] \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right) [/ math] (que es [math] \ left (\ begin {matrix} p_0 \\ q_0 \ end {matrix } \ right) [/ math]) en una combinación lineal de los vectores propios, que es [math] c_1 v_1 + c_2 v_2 [/ math]. Ahora, aplicar la matriz a esto [matemática] m [/ matemática] veces produce [matemática] \ lambda_1 ^ n c_1 v_1 + \ lambda_2 ^ n c_2 v_2 [/ matemática], pero también produce [matemática] \ izquierda (\ begin {matriz} p_m \\ q_m \ end {matriz} \ right) [/ math]. Ahora, si [math] p_1 [/ math] y [math] q_1 [/ math] son del mismo signo, entonces [math] \ left | \ lambda_1 \ right | = \ left | p_1 + q_1 \ sqrt {n} \ right | > \ left | p_1 – q_1 \ sqrt {n} \ right | = \ left | \ lambda_2 \ right | [/ math]; si, en cambio, [matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] q_1 [/ matemática] son de signos opuestos, entonces, de manera similar, [matemática] \ left | \ lambda_2 \ right | > \ left | \ lambda_1 \ right | [/ math]. Por lo tanto, uno u otro término de [matemáticas] \ lambda_1 ^ n c_1 v_1 + \ lambda_2 ^ n c_2 v_2 [/ matemáticas] domina, con el otro término decayendo exponencialmente (en relación con el término dominante) como [matemáticas] m [/ matemáticas] crece sin límite. Eso hace que la dirección (como vector) de [matemáticas] \ lambda_1 ^ n c_1 v_1 + \ lambda_2 ^ n c_2 v_2 [/ matemáticas] se acerque a la dirección del término dominante, por lo que [matemáticas] \ izquierda (\ begin {matrix} p_m \\ q_m \ end {matrix} \ right) [/ math] los enfoques son paralelos (o posiblemente antiparalelos) a cualquiera de [math] v_1 [/ math] y [math] v_2 [/ math] provino del dominante término. Eso implica [matemáticas] \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_m} {q_m}} = \ frac {\ sqrt {r}} {1} = \ sqrt {r} [/ math] if [ matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] q_1 [/ matemática] tienen el mismo signo o [matemática] \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_m} {q_m}} = \ frac {- \ sqrt {r}} {1} = – \ sqrt {r} [/ math] si [math] p_1 [/ math] y [math] q_1 [/ math] tienen signos opuestos.
