En la categoría topológica, la extensión HNN es una instancia de construcción en espacios llamados homotopía colimit. Las construcciones naturales llamadas colimits no se comportan bien bajo equivalencia de homotopía (aproximadamente una equivalencia forzada al pensar en [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] X \ veces [0,1] [/ matemáticas] como el mismo espacio). Coequalisers corresponden a algunas construcciones de encolado que involucran subespacios. Por ejemplo, es posible que desee pegar los puntos finales de un intervalo, luego obtendrá un círculo. Pero si realiza la misma construcción para homotopizar un espacio de un punto equivalente, entonces los puntos finales corresponden al mismo punto y el encolado da el mismo espacio de un punto. Estas construcciones son ejemplos de colimits y no conmutan con equivalencia, es decir, realiza la construcción en objetos equivalentes, no termina obteniendo objetos equivalentes. Aquí obtenemos un círculo y un punto que no son equivalentes. Por lo tanto, necesitamos construcciones que se comporten bien bajo homotopía. HNN es una construcción así. En el ejemplo de intervalo, pega los puntos finales utilizando un camino, obteniendo así un círculo. Incluso para el espacio de un punto, terminas obteniendo un círculo.
¿Por qué estudiamos tales espacios y construcciones? Estos son algunos espacios cuyas propiedades pueden estudiarse una vez que tenemos suficiente información sobre los espacios constituyentes en los que estamos realizando las construcciones. (En este caso, tenemos secuencias espectrales explícitas construidas a partir de espacios subyacentes). Entonces, una vez que reconocemos algo de espacio como colimit de homotopía, hemos encontrado mucha información sobre el espacio.
Y estas construcciones son bastante generales, podemos hablar de construcciones similares en la categoría de módulos, categoría de complejos de cadena, etc.
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