Inducción.
[matemática] n = 1 [/ matemática], [matemática] a_1 + 1 \ ge1 + a_1 [/ matemática], verdadero.
Suponga que para [matemáticas] n = k [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ {k-1} (\ prod_ {i = 1} ^ k a_i + 1) \ ge \ prod_ {j = 1} ^ k ( 1 + a_j) [/ math]. Multiplica ambos lados con [matemáticas] (1 + a_ {k + 1}) [/ matemáticas] y obtén
[matemáticas] (1 + a_ {k + 1}) 2 ^ {k-1} (\ prod_ {i = 1} ^ k a_i + 1) \ ge \ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} ( 1 + a_j) [/ matemáticas]
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Ahora, multiplique el LHS.
[matemáticas] (1 + a_ {k + 1}) 2 ^ {k-1} (\ prod_ {i = 1} ^ k a_i + 1) = 2 ^ {k-1} (\ prod_ {i = 1} ^ k a_i + 1 + \ prod_ {i = 1} ^ {k + 1} a_i + a_ {k + 1}) [/ math]
Ahora, denote [math] x = \ prod_ {i = 1} ^ k a_i [/ math], [math] y = a_ {k + 1} [/ math]. x e y son al menos uno. La desigualdad [matemática] xy + 1 \ ge x + y [/ matemática] se deduce de [matemática] (x-1) (y-1) \ ge0 [/ matemática] así que tenemos [matemática] \ prod_ {i = 1} ^ {k + 1} a_i + 1 \ ge \ prod_ {i = 1} ^ k a_i + a_ {k + 1} [/ math], por lo tanto
[matemáticas] 2 ^ {k-1} (\ prod_ {i = 1} ^ k a_i + 1 + \ prod_ {i = 1} ^ {k + 1} a_i + a_ {k + 1}) \ le 2 ^ {k-1} \ cdot 2 (\ prod_ {i = 1} ^ {k + 1} a_i + 1) [/ math] lo que significa que
[matemáticas] 2 ^ {k} (\ prod_ {i = 1} ^ {k + 1} a_i + 1) \ ge \ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} (1 + a_j) [/ matemáticas]
demostrando el paso de inducción.
