Asumiendo los conjuntos finitos A y B , los valores de los elementos se cuentan una vez cada uno; los duplicados no cuentan. Así, por ejemplo, {1, 2, 3} = {3, 2, 1, 2, 3} y ambos tienen cardinalidad 3. (Para un conjunto finito, su cardinalidad es el número de elementos distintos que contiene el conjunto).
Con respecto a A ∪ B , puede ser que el mismo valor sea un elemento de A y un elemento de B. Ese valor se cuenta una vez en la cardinalidad de A y una vez en la cardinalidad de B. Sin embargo, cuando A y B se combinan mediante la unión, contamos el valor de ese elemento solo una vez, no dos, a pesar de que A y B contribuyen con ese elemento. Así,
El | A ∪ B | = | A | + | B | – | A ∩ B |, con las barras || indicando cardinalidad del conjunto adjunto.
Esto surge porque queremos contar cada elemento de A una vez y cada elemento de B una vez, por lo tanto, la suma de los dos primeros términos; sin embargo, para contar cada elemento una vez, no queremos contarlo dos veces siempre que sea un elemento de ambos conjuntos, por lo que, después de contarlo dos veces, restamos el número de repeticiones debido a la superposición, esa superposición es A ∩ B , La intersección de A y B.
Como ejemplo, dejemos A = {4, 10, 16} y B = {16, 8, 4}. A aporta 3 elementos y B aporta 3 elementos, lo que hace que 3 + 3 = 6 elementos hasta ahora. Sin embargo, cada uno de los elementos 4 y 16 se contó dos veces, una desde A y otra desde B , lo que no queremos. Ahora, A ∩ B = {4, 16}, lo que indica que, de hecho, se han contado dos elementos dos veces, por lo que tenemos que restar 1 para cada uno de esos 2 elementos, es decir, restar 1 × 2 = 2, solo el recuento de elementos en la intersección. Por lo tanto, el recuento final de elementos en la unión es 6 – 2 = 4, lo que concuerda con el recuento de elementos distintos en la unión
A ∪ B = {4, 8, 10, 16}.
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Cuando no hay superposición entre los dos conjuntos, entonces A ∩ B = ∅, y | ∅ | = 0, por lo que no hay que hacer ninguna corrección; restar 0 no hace nada a la suma de la cardinalidad de los dos conjuntos. Por lo tanto, en este caso especial, | A ∪ B | = | A | + | B |.
Si cualquiera de los conjuntos es infinito, la teoría de conjuntos tiene grados de infinito al describir la cardinalidad de los conjuntos. La unión de dos conjuntos en ese caso es la mayor cardinalidad de los dos conjuntos.
