¿Existen problemas matemáticos en los que existe una o más soluciones probables, pero aún no se han encontrado?

Deje que [math] \ mu (n) [/ math] sea la función Mobius, y [math] M (n) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ mu (k) [/ math] sean los Mertens función.

Teorema: para algunos [matemática] 10 ^ {14} \ sqrt {n + 1} [/ math]. Ver la respuesta de Mark Gritter a ¿Cuál es un ejemplo de una conjetura que resultó ser incorrecta para números “muy grandes”? Algunas de las otras respuestas se pueden poner en una forma similar, donde sabemos que una conjetura es falsa pero no sabemos el ejemplo mínimo en el que es falsa.

Factorización de gran número. Existen pruebas de primalidad, por lo que puede decir que el número específico está compuesto con confianza arbitraria, pero no hay forma de factorizarlo, si los factores son lo suficientemente grandes.

El núcleo del algoritmo RSA depende de él, donde la clave es un producto de dos números primos enormes (por ejemplo, magnitud de 10 ^ 500).

Hay innumerables problemas “matemáticos” para los cuales se puede demostrar que existe una solución sin encontrarla realmente.

De la parte superior de mi cabeza, se ha demostrado que el tic-tac-toe generalizado en un tablero de 6 × 6 (es decir, ceros y cruces jugados en un tablero de 6 × 6, donde un jugador gana al obtener seis símbolos seguidos) será un empate con un juego óptimo por parte de ambos jugadores, pero la estrategia por la cual los dos jugadores eviten perder no ha sido determinada. (Vea la respuesta de Kelly Kinkade a ¿Qué pasaría si jugara Tic-Tac-1000 en lugar de Tic Tac Toe? Y Generalized Tic-tac-toe para obtener más información). Los matemáticos probaron que la estrategia existe sin encontrarla realmente.

La pregunta es recursiva. Pide demostrar que tales cosas existen, no necesariamente produciendo un testigo de tal existencia.

En términos de lógica, es lo mismo que encontrar una prueba para una doble negación de una declaración [math] X [/ math]. Esto probaría la existencia de una prueba de la declaración [matemática] X [/ matemática], pero no proporcionaría un testigo de dicha declaración. En la lógica aristotélica [matemáticas] no (no X) = X [/ matemáticas], entonces una prueba de [matemáticas] X [/ matemáticas] se derivaría de su doble negación, pero esto no se sigue en muchas lógicas más poderosas, en particular , en programación.

Hay muchos ejemplos, pero aquí hay dos:

• Hay varios juegos, el más conocido de los cuales es “chomp”, donde es fácil demostrar que el primer jugador tiene una estrategia ganadora, pero nadie sabe cuál es esa estrategia.
• En la mayoría de las clases interesantes de circuitos booleanos, es fácil demostrar que casi todos los problemas son difíciles, y muchos problemas particulares generalmente se consideran difíciles, pero no se ha demostrado que ningún problema descrito explícitamente sea difícil. Por ejemplo, considere la clase de circuitos compuestos solo por puertas xor, desde n entradas hasta n salidas. (Estos circuitos pueden calcular exactamente esas funciones en las que cada salida es un xor de algún subconjunto de las entradas). Es fácil demostrar (contando) que el número de funciones con n entradas crece más rápido que el número de circuitos que se pueden construir con k * n puertas (para cualquier constante k), por lo que prácticamente todas las familias de funciones requieren circuitos de tamaño superlineal. Pero nadie ha podido probar esto para ninguna familia de funciones descrita explícitamente.

¿Cuál es el primer movimiento óptimo (o conjunto de primeros movimientos posibles) en el ajedrez?

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