¿Cuál es el significado de la secuencia Mayer-Vietoris?

La secuencia Mayer-Vietoris para grupos de homología es el análogo del teorema de van Kampen para el grupo fundamental. La secuencia Mayer-Vietoris le permite calcular la homología de un espacio topológico complicado [matemáticas] X [/ matemáticas] en términos de espacios topológicos más simples [matemáticas] A, B \ subconjunto X [/ matemáticas] donde [matemáticas] X [/ math] es la unión de los interiores de [math] A [/ math] y [math] B [/ math].

Deje que [math] X [/ math] sea un espacio topológico. Supongamos que sabemos que [matemática] X [/ matemática] puede descomponerse en dos espacios topológicos [matemática] A, B \ subconjunto X [/ matemática] tal que [matemática] X = A \ copa B [/ matemática]. El teorema de la secuencia Mayer-Vietoris establece que la siguiente secuencia es exacta.

[matemáticas] \ ldots \ rightarrow H_n (A \ cap B) \ xrightarrow {\ Phi} H_n (A) \ oplus H_n (B) \ xrightarrow {\ Psi} [/ math]
[matemáticas] H_n (X) \ xrightarrow {\ partial} H_ {n-1} (A \ cap B) \ rightarrow \ ldots \ rightarrow H_0 (X) \ rightarrow 0 [/ math]

El punto clave aquí es que esta es una secuencia larga y exacta. Las secuencias largas y exactas tienen muchas propiedades agradables que facilitan la deducción, hasta el isomorfismo, de cada grupo en la secuencia. Repasemos rápidamente algunas de las propiedades más esenciales.

Una secuencia de homomorfismos.

[matemáticas] \ ldots \ rightarrow A_ {n + 1} \ xrightarrow {f_ {n + 1}} A_ {n} \ xrightarrow {f_ {n}} A_ {n-1} \ rightarrow \ ldots [/ math]

se dice que es exacto si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo de la siguiente:

[matemáticas] \ text {im} (f_ {n + 1}) = \ text {ker} (f_n) [/ math].

Por ejemplo, supongamos que

[matemáticas] 0 \ rightarrow A \ xrightarrow {f} B [/ math]

es exacto Entonces [math] \ text {ker} (f) = 0 [/ math] ya que debe ser igual a la imagen del mapa cero. Por lo tanto, concluimos que [matemáticas] f [/ matemáticas] es inyectiva.

Para la secuencia

[matemáticas] A \ xrightarrow {f} B \ rightarrow 0 [/ math]

notamos que el núcleo del segundo mapa es todo B, por lo que [math] \ text {im} (f) = B [/ math] y [math] f [/ math] deben ser sobreyectivas.

De lo anterior se deduce que [matemáticas] f [/ matemáticas] en la secuencia exacta a continuación es un isomorfismo.

[matemática] 0 \ rightarrow A \ xrightarrow {f} B \ rightarrow 0 [/ math]

Un tipo especial de secuencia exacta, llamada secuencia exacta corta, tiene la siguiente forma.

[matemática] 0 \ rightarrow A \ xrightarrow {f} B \ xrightarrow {g} C \ rightarrow 0 [/ math]

Del razonamiento anterior podemos concluir que [matemática] f [/ matemática] tiene que ser inyectiva y [matemática] g [/ matemática] tiene que ser sobreyectiva. Además, [math] \ text {im} (f) = \ text {ker} (g) [/ math], por lo que [math] C [/ math] es isomorfo a [math] B / \ text {im} (f )[/matemáticas].

Recuerde que los grupos de homología [matemática] H_n [/ matemática] no están definidos para [matemática] n> d [/ matemática] donde [matemática] d [/ matemática] es la dimensión del espacio topológico [matemática] X [/ matemática] . Por lo tanto, los grupos de homología de orden superior en la secuencia Mayer-Vietoris son todos cero. Elegimos [matemática] A, B [/ matemática] para que sus grupos de homología puedan calcularse fácilmente mediante inspección o ya sean conocidos. Luego usamos la exactitud de la secuencia Mayer-Vietoris para calcular la homología de [math] X [/ math].

Como ejemplo concreto, calculemos la homología de una botella de Klein. Una botella de Klein se puede descomponer en dos tiras de Mobius pegadas por un homeomorfismo a lo largo de su límite. Cada uno de estos espacios, que se denotará por [matemática] A, B [/ matemática] y [matemática] A \ cap B [/ matemática] respectivamente, es homotopía equivalente a un círculo y, por lo tanto, [matemática] H_1 (A) \ cong H_1 (B) \ cong H_1 (A \ cap B) \ cong \ mathbb {Z} [/ math]. La secuencia Mayer-Vietoris da la siguiente secuencia exacta.

[math] 0 \ rightarrow H_2 (X) \ rightarrow \ mathbb {Z} \ xrightarrow {\ Phi} \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ rightarrow H_1 (X) \ rightarrow 0 [/ math]

Podemos concluir que el mapa [math] \ Phi: 1 \ mapsto (2, -2) [/ math] ya que el círculo límite de la banda de Mobius se envuelve dos veces alrededor del círculo central. Como [math] \ Phi [/ math] es inyectivo, debemos tener [math] H_2 (X) = 0 [/ math], porque la imagen de [math] H_2 (X) \ rightarrow \ mathbb {Z} [/ math ] debe ser 0. La exactitud al final de la secuencia implica que la asignación entre [math] \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} [/ math] y [math] H_1 (X) [/ math] debe ser una sobreposición y que [matemáticas] H_1 (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} / \ Phi [/ math]. Al elegir [math] (1,0) [/ math] y [math] (1, -1) [/ math] como base para [math] \ mathbb {Z} ^ 2 [/ math] obtenemos que [math ] H_1 (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _2 [/ math].

Cabe señalar que odio la secuencia Mayer-Vietoris …