Mi profesor de álgebra conmutativa describió un producto tensorial como el espacio más pequeño en el que se puede hablar de manera significativa sobre los productos de dos módulos diferentes (también podríamos hablar sobre álgebras, pero eso no es una extensión difícil de lo que vamos a hacer).
Arreglemos un anillo conmutativo [matemático] R [/ matemático] y dos módulos [matemático] R [/ matemático], al que llamaré [matemático] M [/ matemático] y [matemático] N [/ matemático]. Recuerde que un módulo [matemático] R [/ matemático] es un grupo abeliano (es decir, tiene sentido hablar sobre la suma de los elementos de un módulo [matemático] R [/ matemático]) donde podemos multiplicar elementos de este grupo por elementos de [matemáticas] R [/ matemáticas].
El ejemplo más simple de un módulo [math] R [/ math] es si [math] R [/ math] es un campo, digamos los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math], para facilidad de exposición. Entonces un [math] \ mathbb {R} [/ math] -module es solo un espacio vectorial real. Los módulos sobre anillos que no son campos son más salvajes (hay muchas más posibilidades de lo que pueden ser), pero la idea general es la misma: el anillo [matemática] R [/ matemática] es el conjunto de escalares por los cuales podemos Multiplicar elementos de nuestro módulo.
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Ahora, queremos definir el producto tensorial. Existe la definición que proviene de la teoría de categorías, que es muy útil pero no siempre da la mejor idea de lo que está sucediendo concretamente. En cambio, voy a dar una construcción más práctica del producto tensor [math] M \ otimes_R N [/ math].
Vamos a pensar en los elementos de este nuevo módulo [math] R [/ math] como sumas de productos de elementos de [math] M [/ math] y elementos [math] N [/ math]; dichos productos los escribiremos como [math] m \ otimes n [/ math]. ¿Qué tipo de cosas deberían ser ciertas acerca de tales productos?
Bueno, la propiedad distributiva debería ser válida, es decir, [math] (m_1 + m_2) \ otimes n = m_1 \ otimes n + m_2 \ otimes n [/ math], y de manera similar [math] m \ otimes (n_1 + n_2) = m \ otimes n_1 + m \ otimes n_2 [/ math].
En segundo lugar, los escalares deben viajar a través del producto, es decir, si [matemática] r \ en R [/ matemática], entonces [matemática] r (m \ otimes n) = (rm) \ otimes n = m \ otimes (rn) [/matemáticas].
Y eso es. Esas son las únicas restricciones que debemos imponer. Entonces, es hora de algunos ejemplos.
Ejemplo 1: [math] R = \ mathbb {R} [/ math], [math] M = \ mathbb {R} ^ m [/ math], [math] N = \ mathbb {R} ^ n [/ math ]
Sabemos que [math] M \ otimes_R N [/ math] va a ser un espacio vectorial real, por lo que la única pregunta es cuál será su dimensión. Si este es realmente un producto , la dimensión debería ser [math] mn [/ math].
De hecho, digamos que [math] \ {e_i \} _ {i = 1} ^ m [/ math] es una base para [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math] y [math] \ {f_j \ } _ {j = 1} ^ n [/ math] es una base para [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Luego, un pequeño pensamiento muestra que [math] \ {e_i \ otimes f_j \} [/ math] es una base para [math] \ mathbb {R} ^ m \ otimes_ \ mathbb {R} \ mathbb {R} ^ n [ / math], que por lo tanto es un espacio vectorial [math] mn [/ math] -dimensional.
Ejemplo 2: [math] R = \ mathbb {Z} [/ math], [math] M = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} [/ math], [math] N = \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} [/ math].
Esto es más complicado. Ingenuamente, podríamos sospechar que [math] \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ otimes_ \ mathbb {Z} \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z} [/ math], pero estaríamos equivocados. (De hecho, este no debería ser el caso, ya que sería cierto si reemplazáramos la tensorización con una suma directa, y las dos operaciones son generalmente bastante diferentes.) En cambio, el producto tensor es en realidad 0. Aquí está el por qué: tome cualquier elemento [math] x \ otimes y [/ math] en el producto tensor y observe que:
[matemáticas] x \ otimes y = x \ otimes (4y) = (4x) \ otimes y = 0 \ otimes y = 0 [/ math].
Ups Cuando tensamos los dos juntos, combinamos dos multiplicaciones incompatibles: en [matemáticas] \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} [/ matemáticas], [matemáticas] 2 = 0 [/ matemáticas] y en [matemáticas] \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} [/ math], [math] 3 = 0 [/ math]. Tratando de forzar a los dos juntos hizo [matemáticas] 1 = 0 [/ matemáticas]; es decir, todo se derrumbó a la nada.
Ejemplo 3: [math] R = \ mathbb {R} [/ math], [math] M = \ mathbb {R} [x] [/ math] (es decir, el conjunto de polinomios reales) y [math] N = \ mathbb {C} [/ math].
¿Cuál es el producto de un número complejo y un polinomio real? Un polinomio complejo, por supuesto. Por lo tanto, no es sorprendente que [math] \ mathbb {R} [x] \ otimes_ \ mathbb {R} \ mathbb {C} = \ mathbb {C} [x] [/ math] (para ver esto, muestre que [ math] p (x) \ otimes \ lambda \ mapsto \ lambda p (x) [/ math] es un isomorfismo).
Esta última construcción es interesante: es un ejemplo de extensión de escalares. La idea es que comencemos con un [matemático] R [/ matemático] -módulo [matemático] M [/ matemático], en este caso, el conjunto de polinomios reales. Luego, tomamos un nuevo anillo [matemático] S [/ matemático] que es un [matemático] R [/ matemático] -álgebra (es decir, es un anillo que también es un módulo sobre [matemático] R [/ matemático] ): En este caso, ese es el conjunto de números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math]. La construcción [math] M \ otimes_R S [/ math] es un módulo [math] R [/ math], pero ahora también es un módulo [math] S [/ math], porque podemos definir
[matemáticas] s (m \ otimes s ‘) = m \ otimes (ss’) [/ matemáticas],
y puede verificar que esto satisfará las condiciones de ser un módulo. Básicamente, al tomar un producto tensor, podemos cambiar nuestro módulo de tener solo sus escalares de [math] R [/ math] a tenerlos en este nuevo anillo [math] S [/ math].
En el último ejemplo, esto se mostró mucho: tomamos el conjunto de polinomios reales y, mediante la tensorización, nos permitimos multiplicar por números complejos, que se convirtieron en el conjunto de polinomios complejos. Puede verificar que, en general, si [math] m_1, \ ldots m_n [/ math] generan [math] M [/ math] como un [math] R [/ math] -module, entonces [math] m_1 \ otimes 1, \ ldots m_n \ otimes 1 [/ math] genera [math] M \ otimes_R S [/ math] como un módulo [math] S [/ math].
Sin embargo, se debe tener cuidado con casos como el que se mostró en el ejemplo 2: es posible que la extensión de escalares agregue relaciones entre sus generadores y, por lo tanto, elimine una parte de su módulo (en ese caso, todo el módulo se mató apagado). Aquí hay un ejemplo más de este tipo:
Ejemplo 4: [math] R = \ mathbb {Z} [/ math], [math] M = \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z} [/ math] y [math ] S = \ mathbb {Q} [/ math].
Primero, tenga en cuenta que
[matemáticas] (n, m) \ otimes q = 5 (n, m) \ otimes (q / 5) = (5n, 5m) \ otimes (q / 5) = (5n, 0) \ otimes (q / 5 ) [/matemáticas]
[matemáticas] = 5 (n, 0) \ otimes (q / 5) = (n, 0) \ otimes q = (1,0) \ otimes (nq), [/ matemáticas]
de donde se deduce que [math] \ left (\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z} \ right) \ otimes_ \ mathbb {Z} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q } [/matemáticas]. Esencialmente, tensoring con [math] \ mathbb {Q} [/ math] mató [math] \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z} [/ math] (porque se permite dividir por 5 en [math] \ mathbb {Q} [/ math], pero imposible en [math] \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}) [/ math] y extendido [math] \ mathbb {Z} [/ math] a [math] \ mathbb {Q} [/ math].
La tensión puede ser complicada, pero también es muy computable. Recomiendo hacer muchos ejemplos: es probablemente la mejor manera de tener una idea muy firme de cómo funciona todo.
