Permítanme aprovechar esta oportunidad para resolver otro problema matemático terriblemente.
El problema 2 en la OMI 2017 fue esta ecuación funcional:
Problema 2 . Deje que [math] \ mathbb {R} [/ math] sea el conjunto de números reales. Determine todas las funciones [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] de modo que, para todos los números reales [math] x [/ math] y [math] y [/ math],
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[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (y)) + f (x + y) = f (xy) \ etiqueta 1 [/ matemáticas]
La solución a continuación es la mía, y según la filosofía SMPT, la presento junto con mis procesos de pensamiento y múltiples fallas. Una solución compacta y limpia se puede escribir en media página.
Como con cualquier ecuación funcional, una de las primeras cosas que hace es conectar algunos valores concretos de las variables y ver qué sucede. Empecé con [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas] que produce
[matemáticas] f (f (0) ^ 2) + f (0) = f (0) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (f (0) ^ 2) = 0 [/ matemáticas]
Esto no parece muy útil per se, pero sí dice que [math] f [/ math] a [math] 0 [/ math] toma algún número. Esto siempre es algo útil para saber. [matemática] 0 [/ matemática] está en la imagen de [matemática] f [/ matemática].
También noté que esto funcionó porque [matemática] f (x + y) [/ matemática] y [matemática] f (xy) [/ matemática] eran lo mismo cuando [matemática] x = y = 0 [/ matemática], simplemente porque [matemática] x + y [/ matemática] y [matemática] xy [/ matemática] son lo mismo cuando [matemática] x = y = 0 [/ matemática]. Pero [matemáticas] x + y [/ matemáticas] y [matemáticas] xy [/ matemáticas] son lo mismo en muchos otros casos, también. ¿Cuando?
Bueno, dado cualquier valor de [matemáticas] x [/ matemáticas], podemos preguntarnos qué valor de [matemáticas] y [/ matemáticas] hace [matemáticas] x + y = xy [/ matemáticas]. Mirando [matemática] x + y = xy [/ matemática] como una ecuación en [matemática] y [/ matemática], se resuelve por [matemática] y = \ frac {x} {x-1} [/ matemática] . Oh, interesante: [matemática] x = 1 [/ matemática] no tiene un compañero [matemática] y [/ matemática] que hace que [matemática] x + y = xy [/ matemática] (porque nada hace que [matemática] 1+ y = 1 \ cdot y [/ math] true), pero cualquier otra [math] x [/ math] sí.
Así que parece que hay “muchas cosas” que están mapeadas a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] por [matemáticas] f [/ matemáticas]: Para cualquier [matemáticas] x \ neq 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle f \ left (f (x) f \ left (\ frac {x} {x-1} \ right) \ right) = 0 \ tag 2 [/ math]
Por supuesto, en este punto todavía no sabemos cuántos valores diferentes pueden obtener [matemática] f (x) f (x / (x-1)) [/ matemática], pero sí sabemos que todos esos valores están asignados a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] por [matemáticas] f [/ matemáticas].
Okay. Ese pequeño desvío en realidad nos ahorró algo de trabajo con la comprobación de valores especiales para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]; por ejemplo, [matemáticas] x = y = 2 [/ matemáticas] ya está cubierto (porque [matemáticas] 2 + 2 = 2 \ cdot 2 [/ matemáticas], sabemos que [matemáticas] f (f (2) ^ 2 ) = 0 [/ matemática], también). Intentar con otros valores específicos, como [matemáticas] x = 1, y = 2 [/ matemáticas], no parecía ser muy esclarecedor.
Luego me pregunté qué podría ser [matemática] f (0) [/ matemática], ya que esta también es una etapa común en el análisis de ecuaciones funcionales. ¿Podría ser que [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas]? Supongamos que es cierto, y verifiquemos la ecuación original (1) con [math] y = 0 [/ math]. Obtenemos, por cada [matemáticas] x [/ matemáticas],
[matemáticas] f (f (x) f (0)) + f (x) = f (0) [/ matemáticas]
Pero si [math] f (0) = 0 [/ math] entonces esto dice [math] f (x) \ equiv 0 [/ math], lo que significa [math] f [/ math] es solo la función cero. ¿Resuelve nuestra ecuación funcional? Seguro que sí, así que tenemos una posible solución (degenerada). Esto no es raro para las ecuaciones funcionales, por lo que dejamos esto de lado y seguimos adelante, pero ahora sabemos que, si hay alguna otra solución a nuestra ecuación, todas deben satisfacer [matemáticas] f (0) \ neq 0 [ /matemáticas].
Luego volví a mirar la ecuación (2), que como recuerdas funciona para cualquier [matemática] x [/ matemática] excepto [matemática] 1 [/ matemática]. ¿Qué sucede si [matemáticas] x [/ matemáticas] es tal que [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]? Entonces (2) se convierte en [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas], que ahora sabemos que no es cierto. Por lo tanto, [matemática] f (x) [/ matemática] no puede ser [matemática] 0 [/ matemática] para ninguna [matemática] x [/ matemática]. Pero espera … lo primero que descubrimos fue que [matemáticas] 0 [/ matemáticas] está en la imagen de [matemáticas] f [/ matemáticas]. Esta aparente contradicción hubiera significado que hayamos terminado, no hay otras soluciones. Pero no es así, ya que (2) excluye el valor [math] x = 1 [/ math].
Como hay un número que va a [matemáticas] 0 [/ matemáticas], y ningún número excepto [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] puede ir a [matemáticas] 0 [/ matemáticas], hemos demostrado que [matemáticas] f (1) = 0 [/ math], y además, [math] f (x) \ neq 0 [/ math] para todos [math] x \ neq 1 [/ math]. Agradable: hemos identificado exactamente quién se asigna a [matemáticas] 0 [/ matemáticas].
Observamos que la ecuación (2) dice que [math] f (\ text {something}) = 0 [/ math], lo que significa que “algo” debe ser [math] 1 [/ math]. Entonces, para cualquier [matemática] x \ neq 1 [/ matemática],
[matemáticas] \ displaystyle f (x) f \ left (\ frac {x} {x-1} \ right) = 1 [/ math].
Esa es una ecuación funcional interesante por derecho propio. Debería ser un instinto explorar la dinámica del mapa [math] x \ mapsto x / (x-1) [/ math], para comprender cuánta rigidez impone esta ecuación en [math] f [/ math] . Resulta muy poco: la aplicación de este mapa dos veces produce el mapa de identidad, por lo que realmente lo que dice es que la mitad de los números pueden hacer lo que quieran y la otra mitad se determina, teniendo el valor recíproco. Esto no resulta ser importante, pero es una exploración natural para cualquiera en este momento.
En este punto recordé que [matemáticas] f (f (0) ^ 2) = 0 [/ matemáticas], que fue lo primero que encontramos. Entonces ahora sabemos que [math] f (0) ^ 2 = 1 [/ math], entonces [math] f (0) = \ pm 1 [/ math]. Esto todavía deja dos opciones para [matemáticas] f (0) [/ matemáticas], lo que me costó mucho tiempo en el futuro: seguía preguntándome qué opción debería seguir primero, con la creencia de que una vez que termine con ella, El otro sería similar. Una persona mejor de la que simplemente observaría de inmediato que [math] -f [/ math] es una solución siempre que [math] f [/ math] lo sea, por lo que [math] f (0) [/ math] va a tener dos valores legítimos si tiene alguno (excepto [matemática] 0 [/ matemática]), y podemos elegir [matemática] f (0) = 1 [/ matemática] por conveniencia y recordar agregar [matemática] -f [ / math] como otra solución al final.
Ahora hay dos cosas interesantes que podemos hacer con (1): podemos ver qué sucede cuando [math] y = 1 [/ math], y qué sucede cuando [math] y = 0 [/ math], ya que son dos casos donde ya sabemos [matemáticas] f (y) [/ matemáticas].
Cuando [math] y = 1 [/ math] obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (1)) + f (x + 1) = f (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (0) + f (x + 1) = f (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle 1 + f (x + 1) = f (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x + 1) = f (x) -1 \ etiqueta 3 [/ matemáticas]
esa es una buena relación entre los valores de [math] f [/ math] en cada punto y el [math] +1 [/ math] de distancia. Por supuesto, también se puede ejecutar al revés:
[matemáticas] \ displaystyle f (x-1) = f (x) +1 [/ matemáticas]
obtienes esto simplemente reemplazando [math] x [/ math] con [math] x-1 [/ math] en (3) y reorganizando. En particular, dado que [matemática] f (0) = 1 [/ matemática], podemos concluir que [matemática] f (n) = 1-n [/ matemática] para cada número natural [matemática] n [/ matemática]. En este punto, puede adivinar, correctamente, que [matemática] f (x) = 1-x [/ matemática] es la solución que buscamos (y [matemática] f (x) = x-1 [/ matemática] es el otro). Es fácil comprobar que ambas soluciones realmente funcionan, y esperamos que sean las únicas. Nuestro trabajo, por supuesto, es demostrar esto.
Volviendo a (1) ahora con [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x)) + f (x) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x)) = 1-f (x) \ etiqueta 4 [/ matemáticas]
Esto es interesante. Casi dice lo que queremos. Dice que si [matemática] w [/ matemática] resulta ser [matemática] f (x) [/ matemática] para algunos [matemática] x [/ matemática], entonces [matemática] f (w) = 1-w [ /matemáticas]. En otras palabras, [math] f [/ math] actúa de la manera que esperamos en su propia imagen, pero no sabemos si su propia imagen lo es todo. Si logramos demostrar que [math] f [/ math] está activado , entonces ya hemos terminado.
Resultó ser más fácil querer hacer que hacer. Para mostrar que [math] f [/ math] está activado, desea elegir un número real arbitrario [math] z [/ math] y manipular las ecuaciones hasta que encuentre [math] f (\ text {blah}) = z [/ math], o incluso [math] f (\ text {blah}) = 1-z [/ math] o [math] -z [/ math] o [math] 1 / z [/ math] o cualquier otra cosa que cubre, o casi cubre, todos los números reales. ¡Pero nuestra ecuación funcional es toda [matemática] f [/ matemática]! No hay expresiones independientes que no estén envueltas como argumento de alguna [math] f [/ math]. Esto hizo que la tarea de probar la surjetividad fuera de mis poderes, y desafortunadamente me llevó bastante tiempo darme cuenta de que está más allá de mis poderes.
En algún momento volví a (4) y me pregunté qué pasaría si aplico [matemáticas] f [/ matemáticas] a ambos lados. No, en realidad, eso no fue lo que sucedió: recordé que una vez que tienes [matemática] f (f (x)) [/ matemática] bajo control, a veces es útil evaluar [matemática] f (f (f (x))) [/ math] de dos maneras: una al pensar en ella como [math] f [/ math] de [math] f (f (x)) [/ math], y otra al pensar en ella como [math] f ( f) [/ math] de [math] f (x) [/ math]. Usando (4), esto da las dos ecuaciones:
[matemáticas] f (f (f (x))) = f (1-f (x)) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (f (f (x))) = 1-f (f (x)) = 1- (1-f (x)) = f (x) [/ matemáticas]
Entonces esas cosas son iguales, lo que significa que
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = f (1-f (x)) \ etiqueta 5 [/ matemáticas]
Esto es Loco. Creemos que [math] f (x) = 1-x [/ math] debe ser cierto, y esta ecuación es consistente con eso, pero una vez más no lo implica . De hecho, si supiéramos que [math] f [/ math] era uno a uno (inyectivo), entonces podríamos concluir de inmediato que [math] x = 1-f (x) [/ math], porque para un función uno a uno, si [math] f (\ text {foo}) = f (\ text {bar}) [/ math] entonces foo [math] = [/ math] bar. Y esto es una locura porque ahora tenemos dos caminos para completar la prueba: ¡probar que [math] f [/ math] es sobreyectivo o probar que es inyectivo! Aargh!
Pasé para siempre saltando entre estos dos caminos. No hay progreso en ninguno de los dos. Estaba listo para rendirme. Los concursantes de la OMI ahora son demasiado listos para mí. Solía resolver ecuaciones funcionales IMO sin muchos problemas. ¡Esto es muy difícil!
Aquí es donde me quedé atrapado. Para mostrar que [matemática] f [/ matemática] es inyectiva, necesitamos elegir dos números reales arbitrarios [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], supongamos que [matemática] f (a) = f (b) [/ math], y concluya que [math] a = b [/ math]. Conectar [matemática] a, b [/ matemática] como está en (1) no parece ayudar en absoluto, pero rápidamente me di cuenta de que lo que realmente quiero es encontrar [matemática] x, y [/ matemática] así que [matemáticas] x + y = a [/ matemáticas] y [matemáticas] xy = b [/ matemáticas]. ¿Por qué? Bueno, porque eso obliga a [matemáticas] f (x + y) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (xy) [/ matemáticas] a ser lo mismo, que es lo que nos sirvió tan bien al principio.
Pero me enfrentaba a dos problemas. El problema menor era que no siempre se puede encontrar [matemática] x, y [/ matemática] cuya suma es [matemática] a [/ matemática] y cuyo producto es [matemática] b [/ matemática]. Tienes que hacer que algún discriminante salga positivo para que eso funcione. No estaba demasiado preocupado por esto, porque recordaba la ecuación (3): te permite saltar por 1’s a la derecha o a la izquierda con bastante libertad, así que supuse que si era necesario simplemente cambiaría [matemáticas] a, b [/ math] a un lugar apropiado y todo estará bien. Eso, por cierto, es una buena estrategia, como veremos.
El problema más grande era este: supongamos que logré encontrar [math] x, y [/ math] así. Al conectarlos a (1) se obtiene
[matemáticas] f (f (x) f (y)) = 0 [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] f (x) f (y) = 1 [/ matemáticas]. Pero este es el problema: sabemos que [matemáticas] f (x) f (y) [/ matemáticas] es de hecho [matemáticas] 1 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] y = \ frac {x} {x-1} [ / matemáticas], pero no sabemos lo contrario. No podemos concluir, de [matemática] f (x) f (y) = 1 [/ matemática], que [matemática] y [/ matemática] debe ser [matemática] \ frac {x} {x-1} [ /matemáticas]. Esta es la misma inyectividad que no tenemos, porque es justo lo que estamos tratando de demostrar .
Las cosas habrían sido mejores si hubiéramos tenido
[matemáticas] f (f (x) f (y) +1) = 0 [/ matemáticas]
porque entonces podríamos concluir que [matemáticas] f (x) f (y) = 0 [/ matemáticas], que dice que [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] f (y) = 0 [/ matemática], que significa [matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] y = 1 [/ matemática]. Esta es una conclusión agradable y concreta para dibujar sobre [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], en lugar de sus imágenes en [matemáticas] f [/ matemáticas]. Pero, ¿cómo podríamos obtener esta [matemática] +1 [/ matemática] allí?
La respuesta, finalmente se me ocurrió, es usar (3) y modificar la definición de [matemáticas] x, y [/ matemáticas]. En lugar de pedir [matemáticas] x + y = a [/ matemáticas], [matemáticas] xy = b [/ matemáticas], vamos a requerir [matemáticas] x + y = a [/ matemáticas], [matemáticas] xy = b-1 [/ matemáticas].
Recuerde: [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son solo dos números con [matemáticas] f (a) = f (b) [/ matemáticas]. Estamos definiendo [matemática] x, y [/ matemática] como soluciones de [matemática] x + y = a [/ matemática], [matemática] xy = b-1 [/ matemática], lo que podemos hacer porque si podemos ‘t, reemplazaremos [matemática] a, b [/ matemática] por [matemática] a-1, b-1 [/ matemática] y seguiremos haciéndolo hasta que [matemática] b-1 [/ matemática] sea un número negativo , en cuyo punto las ecuaciones [matemáticas] x + y = a [/ matemáticas], [matemáticas] xy = b-1 [/ matemáticas] se pueden resolver para valores reales de [matemáticas] x, y [/ matemáticas]. Este paso de “reemplazo” está bien porque [matemática] f (a) = f (b) [/ matemática] si y solo si [matemática] f (a-1) = f (b-1) [/ matemática], gracias a (3).
Okay. Así que ahora tenemos esas [matemáticas] x, y [/ matemáticas], y así
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (y)) + f (a) = f (b-1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (y)) + f (a) = f (b) + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (y)) – 1 + f (a) = f (b) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (y)) – 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (f (x) f (y) + 1) = 0 [/ matemáticas]
Esto es justo lo que queríamos. Concluimos que [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas], y por simetría no importa cuál. Suponga que [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas]. Entonces [matemática] x + 1 = a [/ matemática], [matemática] x = b-1 [/ matemática], que significa [matemática] a = b [/ matemática] que es (¡milagro de milagros!) Justo lo que queríamos . Esto es increíblemente bonito e inesperado, no tengo idea de cómo la persona que se le ocurrió este problema se le ocurrió.
Entonces, para concluir: de alguna manera logramos demostrar que [math] f [/ math] debe ser inyectiva, lo que gracias a (5) significa que [math] f (x) = 1-x [/ math]. Todo esto bajo el supuesto de que [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]; el caso [math] f (0) = – 1 [/ math] implica que [math] -f [/ math] satisface [math] -f (0) = 1 [/ math], entonces [math] -f = 1-x [/ matemática] y así [matemática] f = x-1 [/ matemática]. En general, hemos demostrado que hay exactamente tres funciones que satisfacen la ecuación (1):
- [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] f (x) = 1-x [/ matemáticas]
- [matemáticas] f (x) = x-1 [/ matemáticas]
Y ya está.
QED, pero nunca hubiera recibido esto a tiempo en una configuración IMO real.
