Hay dos cosas que deseo aclarar.
- Su pregunta parece indicar incorrectamente que el producto de las pendientes de los ejes X e Y no es -1
- En realidad, se puede demostrar que el producto de sus pendientes es -1.
Hablando sobre el producto de las pendientes. Sabemos que la pendiente del eje X es cero y la del eje Y es infinito. Por lo tanto, desea concluir que no obtiene -1 tras la multiplicación. Pero el producto mencionado es una forma indeterminada y debe evaluarse aplicando límites. En la siguiente parte de esta respuesta, ofreceré dos pruebas de que el producto de las pendientes de los ejes X e Y es de hecho -1.
Prueba 1
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Considere una línea recta [matemática] L_1 [/ matemática] que pasa por el origen formando un ángulo agudo [matemático] \ alfa [/ matemático] con un eje X positivo. Su ecuación será
[matemáticas] y \, = \, x \, \ tan {\ alpha} [/ matemáticas]
[matemáticas] y \, – \, x \, \ tan {\ alpha} = 0 [/ matemáticas]
Ahora considere otra línea [matemática] L_2 [/ matemática] que forma un ángulo [matemática] (\ frac {\ pi} {2} + \ alpha) [/ matemática] con eje X positivo. Su ecuación será
[matemáticas] y \, = \, x \, \ tan {(\ frac {\ pi} {2} + \ alpha)} = \, -x \, \ cot {\ alpha} [/ matemáticas]
Como [math] \ alpha [/ math] es agudo, [math] \ tan {\ alpha} [/ math] es finito. Multiplicando así por [math] \ tan {\ alpha} [/ math]
[matemáticas] y \, \ tan {\ alpha} = \, -x [/ matemáticas]
[matemáticas] y \, \ tan {\ alpha} + \, x = 0 [/ matemáticas]
Ahora considere el caso límite de [math] \ alpha [/ math] que tiende a cero
[matemáticas] L_1: = \; \ lim _ {\ alpha \ to 0} (y \, – \, x \, \ tan {\ alpha} = 0) [/ math]
[matemáticas] L_2: = \; \ lim _ {\ alpha \ to 0} (y \, \ tan {\ alpha} + \, x = 0) [/ math]
Ahora aplicando los límites que obtendrás,
[matemáticas] L_1: = \; y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] L_2: = \; x = 0 [/ matemáticas]
Se puede ver que [matemática] L_1 [/ matemática] es la ecuación del eje X y [matemática] L_2 [/ matemática] es la del eje Y y nuestra definición de [matemática] L_1 [/ matemática] y [matemática] L_2 [/ matemáticas] en sí era que eran perpendiculares.
Incluso se puede evaluar el producto de las pendientes.
Pendiente de [matemáticas] L_1 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ tan {\ alpha} [/ matemáticas]
Pendiente de [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {-1} {\ tan {\ alpha}} [/ matemáticas]
La evaluación del producto de las pendientes y la aplicación del límite [math] \ alpha [/ math] tiende a cero,
Producto de pendientes = [matemática] \ lim _ {\ alpha \ a 0} \ frac {- \ tan {\ alpha}} {\ tan {\ alpha}} [/ math] = [matemática] \ lim _ {\ alpha \ to 0} (-1) [/ matemáticas] = [matemáticas] -1 [/ matemáticas]
Prueba 2
Considere dos líneas rectas [matemáticas] L_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] que se encuentran a lo largo de los ejes X e Y. Sus ecuaciones son
[matemáticas] L_1: = \; y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] L_2: = \; x = 0 [/ matemáticas]
Escribiendo en forma polar,
[matemáticas] L_1: = \; r \; \ sin {\ theta} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] L_2: = \; r \; \ cos {\ theta} = 0 [/ matemáticas]
Ahora gire los ejes de coordenadas en un ángulo [matemático] \ alfa [/ matemático] en sentido antihorario. Las nuevas ecuaciones de [matemáticas] L_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] serían
[matemáticas] L_1: = \; r \; \ sin {\ theta- \ alpha} = 0 [/ math]
[matemáticas] L_1: = \; r \; (\ sin {\ theta} \ cos {\ alpha} – \ cos {\ theta} \ sin {\ alpha}) = 0 [/ math]
[matemáticas] L_2: = \; r \; \ cos {\ theta- \ alpha} = 0 [/ math]
[matemáticas] L_2: = \; r \; (\ sin {\ theta} \ sin {\ alpha} + \ cos {\ theta} \ cos {\ alpha}) = 0 [/ math]
Convertir de nuevo a coordenadas cartesianas
[matemáticas] L_1: = \; y \; \ cos {\ alpha} -x \; \ sin {\ alpha} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] L_2: = \; y \; \ sin {\ alpha} + x \; \ cos {\ alpha} = 0 [/ matemáticas]
Escribiendo las pendientes de [matemáticas] L_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 [/ matemáticas],
Pendiente de [matemáticas] L_1 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} [/ matemáticas]
Pendiente de [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {- \ cos {\ alpha}} {\ sin {\ alpha}} [/ matemáticas]
Producto de pendientes = [matemática] -1 [/ matemática]
Por lo tanto, las líneas [matemáticas] L_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] son perpendiculares después de la rotación. Sin embargo, dado que los ángulos se conservan en una rotación rígida, [matemática] L_1 [/ matemática] y [matemática] L_2 [/ matemática] deben haber sido perpendiculares incluso antes. Esto implica que los ejes X e Y son perpendiculares.
