¿Qué es la teoría de la medida?

La teoría de la medida es el estudio de las medidas. Generaliza las nociones intuitivas de longitud, área y volumen. Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o + ∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto X. Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser (contablemente) aditivo: la medida de un subconjunto ‘grande’ que puede descomponerse en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos ‘más pequeños’, es la suma de las medidas del subconjuntos “más pequeños”. En general, si se quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado mientras se satisfacen los otros axiomas de una medida, solo se encuentran ejemplos triviales como la medida de conteo. Este problema se resolvió definiendo la medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles , que se requieren para formar un álgebra σ. Esto significa que las uniones contables, las intersecciones contables y los complementos de subconjuntos medibles son medibles.