(Agregué el tema “cuaterniones” a la pregunta, suponiendo que esto es lo que quiere decir con [matemáticas] i, j, k [/ matemáticas]).
Al igual que con los números complejos, el truco para encontrar inversos es mirar los conjugados. Dado un cuaternión
[matemática] q = a + bi + cj + dk [/ matemática] ([matemática] a, b, c, d [/ matemática] real)
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definimos su conjugado como
[matemáticas] \ bar {q} = a-bi-cj-dk [/ matemáticas]
La razón por la que esto es útil es que el producto [math] q \ bar {q} [/ math] es real. Este es el por qué.
Cuando expandes el producto
[matemáticas] (a + bi + cj + dk) (a-bi-cj-dk) [/ matemáticas]
obtienes dos tipos de cosas: los términos “idénticos” [matemática] a \ cdot a [/ matemática], [matemática] (bi) (- bi) [/ matemática] etc., y los términos “mixtos” como [matemática] ] (bi) (- dk) [/ math] etc.
Los términos idénticos le dan [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]. La parte divertida son los términos mixtos: se desvanecen. ¿Por qué? Porque cualquiera que sea [math] (bi) (- dk) [/ math] es, es lo opuesto a [math] (dk) (- bi) [/ math], porque una relación definitoria de la multiplicación de quaternion es [math] ik = -ki [/ matemáticas]. Entonces, todos los términos mixtos se cancelan entre sí, y te quedas con
[matemáticas] q \ bar {q} = \ bar {q} q = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas].
En otras palabras,
[matemáticas] q ^ {- 1} = \ frac {\ bar {q}} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2} [/ matemáticas]
En su caso, [matemática] u = i + j + k [/ matemática], entonces [matemática] \ bar {u} = – ijk [/ matemática] y [matemática] u \ bar {u} = 3 [/ matemáticas]. Entonces, el inverso multiplicativo de [math] u [/ math] es simplemente [math] -u / 3 = -i / 3-j / 3-k / 3 [/ math].
