Si los axiomas no pueden ser probados, ¿cómo sabemos si son verdaderos?

Como dice David Joyce, los axiomas definen de qué estás hablando. Son verdaderas por definición de modelos que satisfacen la teoría. Ciertamente puede comenzar una teoría con los axiomas que desee, ¡pero nadie le ofrecerá la garantía de que cualquier teoría desarrollada sea interesante o útil!

La forma en que se escribe la pregunta parece suponer que algo que se puede probar es cierto. Sin embargo, otra forma de pensar en las pruebas es preservando la validez . Probar un teorema dice que es válido: asumiendo la validez de los axiomas, la validez del teorema sigue. Para un sistema consistente, las pruebas preservarán la verdad, pero una prueba no genera la verdad.

Ha enumerado la lógica, la teoría de conjuntos y las matemáticas como los temas de esta pregunta y ha dejado de lado la ciencia, por lo que no está preguntando sobre teorías científicas sino matemáticas.

Los axiomas de una teoría matemática definen qué propiedades tienen los términos de las teorías, es decir, de qué trata la teoría. Si tienes algo que satisface esos axiomas, entonces la teoría es sobre eso; Si tienes algo que no satisface esos axiomas, entonces la teoría no se trata de eso.

Ejemplo

Tome la teoría donde hay dos tipos de cosas. Los llamaremos los frescos y los bollos . Agregaremos un predicado a la teoría que puede aplicarse a un frest y un scone, y usaremos la terminología “el frest cumple con el scone” cuando se aplique. Luego agregaremos dos axiomas a la teoría.

1. Para cada par a, b de frescos distintos, hay exactamente un bollo que cumple ambos frescos, denotado s ( a, b ).
2. Para cada par [matemática] c, d [/ matemática] de bollos distintos, hay exactamente una pelea que cumple ambos bollos, denotada [matemática] \, f (c, d) [/ matemática].

Ahora, ¿de qué trata esta teoría? Un modelo es un plano proyectivo. En un plano proyectivo, dos puntos determinan una línea, la línea que los atraviesa; y dos líneas determinan un punto, el punto de intersección. Pero un avión euclidiano no forma un modelo. En un plano euclídeo, dos puntos determinan una línea, pero dos líneas pueden ser paralelas y no determinar un punto.

Esencialmente, los axiomas definen la teoría.

Los jugadores de ajedrez (generalmente) no discuten sobre si las buenas reglas son buenas o malas. Ciertamente no discutirán acerca de que sean incorrectos. El jugador de fútbol a veces sí, pero las reglas son hechas por el hombre para ajustarse lo más posible a la idea de “justo”.
Lo mismo en matemáticas. Los axiomas se eligen para describir adecuadamente ciertas reglas que quieres jugar.
Dicho esto, siempre queda la necesidad de justificar por qué se eligió un conjunto particular de axiomas. Por lo general, se deben cumplir 2 condiciones.

1. No es demasiado restrictivo, es decir, hay suficientes ejemplos de objetos para justificar la elección. En particular, es muy útil saber que hay al menos un ejemplo. P.ej. una teoría de grupos no abelianos de tamaño <6 no es muy útil.
Tenga en cuenta que en algún momento para probar un cierto resultado sobre una clase de objetos, uno supone que el resultado es falso y desarrolla una teoría enorme sobre qué propiedades tendrían esos objetos suponiendo que el resultado es falso. Esto puede llevar a una contradicción, demostrando que el resultado original fue verdadero. O podemos encontrar un ejemplo algún día.

2. No es demasiado amplio, por lo que podemos probar “muchos” resultados interesantes a partir de esos axiomas solos. Tome la teoría de grupos, por ejemplo. Comenzando con un pequeño conjunto de supuestos (asociativit, identidad, inverso), podemos probar muchos resultados útiles, que culminan en una imagen algo completa de todos esos objetos (programa Holder).

En resumen, lo que se obtiene de los axiomas justifica la elección de los axiomas.

Los axiomas no son declaraciones que estamos reclamando sin probarlas. Establecen las reglas de un juego que nos gustaría jugar. Las reglas de un juego no pueden ser “verdaderas” o “falsas”; Eso es un error de tipo. Sin embargo, pueden ser interesantes o poco interesantes.

Este es un problema filosófico. Tienes que empezar por alguna parte. Tienes que asumir algo al principio. No tiene forma de mostrar dónde está comenzando es verdad, porque está al principio y mostrar que algo es verdad requiere que ya haya comenzado en otro lugar.

Comienzas con axiomas, asumes que son verdaderas sin ninguna razón y comienzas desde allí. Si los resultados se ven bien, entonces estás contento con los axiomas.

No se supone que los axiomas sean ciertos. Son solo suposiciones que se supone que son ciertas.
Si. Sin embargo, si la teoría comienza a contradecir los axiomas elegidos, entonces debe haber algo mal en la elección de esos axiomas, no su veracidad.

El principal problema de la pregunta es que dos nociones: «demostrable» y «verdadero» se confunden.

El hecho de que los axiomas no puedan ser «probados» * no implica que no sepamos si son verdaderos o no, al menos en lógica. De hecho, los axiomas deben ser verdaderos, para obtener nada más que declaraciones verdaderas en nuestras derivaciones.

Por ejemplo, podemos axiomatizar la lógica proposicional clásica con los siguientes axiomas: [matemáticas] (A \ supset (B \ supset A)), ((A \ supset (B \ supset C)) \ supset ((A \ supset B) \ supset (B \ supset C))), ((\ neg B \ supset \ neg A) \ supset ((\ neg B \ supset A) \ supset B)) [/ math]. Son tautologías (es decir, proposiciones verdaderas) en CPL que se pueden probar fácilmente con la ayuda de tablas de verdad.

* Para ser honesto, pueden. Para probar un axioma en algún cálculo axiomático lógico uno simplemente lo anota.

La premisa es falsa: los axiomas se pueden probar. De hecho, las pruebas de axiomas son las pruebas más triviales de todas.

Una prueba es una secuencia ordenada de enunciados, donde cada enunciado es un axioma o se deduce de una o más declaraciones anteriores por una regla de inferencia. La última declaración en la secuencia es la declaración que se prueba. Entonces, tome, por ejemplo, esta prueba (una declaración larga) de que 0 es un número natural:

– 0 es un número natural (según el primer axioma de Peano)

Sí (a los detalles de la pregunta). Se supone que los axiomas son ciertos.