Hay cierta confusión aquí.
[matemática] \ sin (x) \ aprox x [/ matemática] no aparece en el movimiento armónico simple.
SHM se define por la ecuación diferencial:
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[matemáticas] \ ddot {x} + \ omega ^ 2 x = 0 [/ matemáticas]
Cuál tiene la solución exacta:
[matemáticas] x = \ alpha e ^ {i \ omega t} + \ beta e ^ {- i \ omega t} [/ matemáticas] en el plano complejo, y se reduce a:
[matemáticas] x = A \ cos (\ omega t + \ phi_1) = A \ sin (\ omega t + \ phi_2) [/ matemáticas] si se limita a los reales (que es la solución físicamente útil en un nivel básico )
En este caso, [math] \ alpha, \ beta, A, \ phi_1 [/ math] y [math] \ phi_2 [/ math] son constantes que están determinadas por las condiciones iniciales del sistema (amplitud inicial y velocidad del oscilador en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas], por ejemplo).
Esta es una solución exacta, y en ningún momento requiere la aproximación de ángulo pequeño aludida en la pregunta.
Sin embargo, donde surge esta confusión es cuando está considerando el caso especial de un péndulo .
Si configura las ecuaciones de movimiento y dibuja sus diagramas de fuerza, llega a la conclusión de que:
[matemáticas] \ ddot {\ theta} + \ frac {g} {L} \ sin (\ theta) = 0 [/ matemáticas]
Para oscilaciones de péndulo pequeñas, [math] \ sin (\ theta) \ approx \ theta [/ math] – y el movimiento de péndulo se pueden aproximar como movimiento armónico simple .
La distinción es que la aproximación está en movimiento pendular , no en SHM.
Si la aproximación de ángulo pequeño falla , entonces ya no tiene un movimiento armónico simple . Esto no es una falla de SHM, es una falla en su aproximación a SHM.
Esto es importante porque los osciladores armónicos simples aparecen en todas partes (quiero decir en todas partes . A menudo se dice que QFT son solo osciladores armónicos …), no solo en movimiento pendular, por lo que es importante desacoplar estas ideas.
Entonces, la pregunta real a la que quieres una respuesta es:
¿Existe una solución exacta para la ecuación de movimiento del péndulo [math] \ ddot {\ theta} + \ frac {g} {L} \ sin (\ theta) = 0 [/ math], para el caso donde la aproximación de ángulo pequeño es ¿no es válido?
La respuesta es sí. Mas o menos.
Sin embargo, implica funciones elípticas horribles que simplemente no entiendo.
Si era necesario que resolviera un DE de este tipo, no tengo dudas de que para el 99% de los casos, una solución numérica / de simulación sería la forma ideal de hacerlo.
La respuesta exacta que WolframAlpha me da es:
[matemáticas] \ theta = \ pm 2 ~~ \ text {am} \ left (\ frac {1} {2} \ sqrt {(2 \ frac {g} {L} + \ alpha) (t + \ beta) ^ 2} | \ frac {4 g} {2g + \ alpha L} \ right) [/ math]
Donde [math] \ text {am} (x | m) [/ math] es la función de amplitud de Jacobi.
No es divertido.
