¿Qué tienen los espacios topológicos que los hace tan frecuentes en varios campos diferentes de las matemáticas?

Si está tratando de modelar matemáticamente cualquier tipo de situación, debe comenzar con algún tipo de espacio matemático. Diferentes situaciones requieren diferentes espacios, pero los espacios topológicos cubren una pregunta muy importante. Te dicen lo que significa que una secuencia converja en ese espacio. En otras palabras, te dicen lo que significa que los puntos estén “cerca” entre sí en ese espacio. En el espacio euclidiano estándar, esto se mide por la función de distancia o métrica de distancia

[matemáticas] d (x, y) = (\ sum_ {n = 1} ^ d (x_n-y_n) ^ 2) ^ {1/2}. [/ matemáticas]

Esta no es la única forma de medir la distancia. Los espacios que tienen una función de distancia similar o “métrica” ​​se denominan espacios métricos y son un subconjunto de espacios topológicos. Estas son las configuraciones más comunes para las aplicaciones, pero incluso en un espacio topológico general puede hablar sobre los límites de las secuencias. Muchas preguntas en matemática aplicada o pura están relacionadas con el comportamiento limitante de ciertos sistemas. Sin una topología en un espacio, esta pregunta no tiene sentido.

Como de costumbre, se puede encontrar una respuesta bastante buena en Wikipedia:
En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio topológico puede definirse como un conjunto de puntos, junto con un conjunto de vecindades para cada punto, que satisfacen un conjunto de axiomas que relacionan puntos y vecindades. La definición de un espacio topológico se basa únicamente en la teoría de conjuntos y es la noción más general de un espacio matemático que permite la definición de conceptos tales como continuidad, conectividad y convergencia. [1] Otros espacios, como múltiples y espacios métricos, son especializaciones de espacios topológicos con estructuras o restricciones adicionales. Al ser tan generales, los espacios topológicos son una noción centralizadora y aparecen en prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas. La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos por derecho propio se llama topología de conjunto de puntos o topología general.

Debo decir que su formulación de espacios topológicos a través de la teoría de conjuntos y la geometría lo ayuda a generalizar bien. Las conexiones de la teoría de conjuntos lo hacen atractivo para la investigación de la teoría de probabilidad y el análisis de redes / gráficos. Las propiedades geométricas de los espacios topológicos lo ayudan a resolver problemas de geometría, estadística y aprendizaje automático. Y las propiedades algebraicas profundas se conectan con muchas otras áreas, incluida la geometría diferencial. Es un marco bastante versátil, ¡y viene con algunas visualizaciones divertidas!