Habría miles de posibilidades sobre qué escribir, así que solo pasaré por la historia y señalaré cuáles son las ideas más interesantes para mí. Estos son principalmente ejemplos de matemática pura.
- Eukleides fundó un sistema matemático “moderno” axiomático y basado en pruebas. Las matemáticas se convirtieron así en una ciencia en la que el conocimiento no cambia a través de diferentes períodos de tiempo, pero todos los matemáticos construyeron más alto sobre la base dada por sus predecesores. También es la mejor manera que conocemos para evitar la inconsistencia de las matemáticas. Desafortunadamente, el gran lógico Kurt Gödel demostró que no se puede demostrar que una teoría sea coherente utilizando los axiomas de la teoría en sí, pero todos los intentos que intentaron hacer matemáticas de forma puramente intuitiva sin los axiomas específicos fallaron; por ejemplo, los matemáticos pensaron que todos intuitivamente entienden qué los conjuntos son y, por lo tanto, esta teoría no necesitaba axiomas, hasta que la paradoja de Russel mostró que sin el axiomático adecuado, el enfoque intuitivo conduce a una contradicción.
- Cálculo, inventado por Newton y Leibniz, pero utilizado también antes, Arquímedes, por ejemplo, utilizó una forma similar a la integración de Riemann para calcular las áreas y los volúmenes de ciertas formas. Newton y Leibniz dieron la primera descripción completa de la teoría. La mayoría de las leyes físicas están formuladas en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, que muestra el poder del cálculo. Aunque hasta el enfoque épsilon-delta de Cauchy, que dio definiciones adecuadas de los términos utilizados, hubo algunas disputas entre los científicos porque algunos realmente no creían en el enfoque de Newton y Leibniz utilizando manipulaciones de “cantidades infinitamente pequeñas” sin poder explicar exactamente qué medio.
- La invención de Galois de la teoría de grupos y su uso para mostrar que las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a cinco no pueden expresarse en términos de radicales. La gente conocía la fórmula cuadrática desde la antigüedad y les llevó más de mil años inventar una fórmula similar para las ecuaciones de grado 3 y 4. Se necesitaron otros cuatrocientos años para demostrar que no existe tal fórmula para ecuaciones de grado superior. La razón de esto es que las personas no sabían si la fórmula existe o no y no tenían idea de cómo abordar una prueba de que realmente no puede existir. El primero en probarlo fue Henrik Abel, pero dio un razonamiento opaco. Sin embargo, el enfoque de Galois condujo a una gran teoría que dejaba (casi) claro por qué no existe tal fórmula. Esto puede verse como la base del álgebra abstracta, cuyo poder reside en manipular objetos muy abstractos que pueden conducir a encontrar estructuras sorprendentes. Un enfoque muy similar, por ejemplo, muestra que las integrales (funciones primitivas) de algunas funciones no pueden escribirse en términos de funciones elementales (como combinaciones racionales de polinomios, funciones goniométricas, exponenciales y sus inversas).
- Pierre de Fermat era un matemático francés aficionado. Después de su muerte, dejó el mundo con un gran misterio: escribió una ecuación de aspecto simple en su libro y afirmó que podía probar que no tiene una solución. Se hizo famoso como el último teorema de Fermat, ya que era el último problema que afirmaba haber resuelto y que no había sido resuelto por otros. Aunque la ecuación no es muy importante, dio lugar a nuevos campos de las matemáticas en un intento por resolver este problema.
- La teoría de números fue durante mucho tiempo un juguete matemático puro sin ningún uso práctico. Con la llegada de las computadoras y la necesidad de seguridad, se demostró que tiene hermosas aplicaciones que se convirtieron en fundamentales en el mundo contemporáneo cada vez que queremos mantener segura cierta información. Es uno de los muchos ejemplos de una teoría matemática que se inventó debido a la curiosidad humana que se volvió muy útil en aplicaciones en el futuro.
- El predecesor de la computadora de hoy eran máquinas Turing. Estos fueron inventados por Alan Turing, quien se dio cuenta de que no necesita una máquina diferente para cada tarea, sino que existe una máquina “universal” capaz de seguir las instrucciones que recibe. Esta es una idea fundamental de la que surgieron todas las máquinas programables que usamos hoy.
- Teorema de la categoría de Baire: es un teorema único para todos, que es un gran ejemplo de cómo un mayor grado de abstracción ayuda a resolver problemas. Cuando se fundó el cálculo, la gente creía que las funciones continuas debían tener una primera derivada en casi todas partes hasta que Weierstrass construyera un contraejemplo. El teorema de la categoría de Baire proporciona una forma puramente abstracta de mostrar que dicha función existe al demostrar que la clase de todas esas funciones es enorme. De hecho, muestra que una función continua “típica” no tiene una derivada en ningún punto. Ejemplos similares son argumentos teóricos de conjuntos que proporcionan la existencia de ciertos objetos sin construir uno, como la existencia de números trascendentales.
