¿Cuál es tu ejemplo favorito de dualidad en matemáticas?

Los espacios duales de Banach [math] \ {\ mathcal {L} ^ p (\ mathbb {R}), \ mathcal {L} ^ q (\ mathbb {R}) \}, \ forall \ p> 1, \ tfrac {1} {p} + \ tfrac {1} {q} = 1.. [/ Math] Estos son espacios de funciones que cuando se elevan al poder [math] p [/ math], y se integran sobre la línea real, el El área permanece finita. La parte de “Banach” no es tan importante, así que si está interesado, lea el siguiente enlace wiki.

Suponga que tiene una función [matemática] f (x) \ en \ matemática {L} ^ p [/ matemática] y otra [matemática] g (x) \ en \ matemática {L} ^ q [/ matemática] donde [matemática ] q [/ math] se dice que es el conjugado Holder de [math] p. [/ math] La dualidad entra al calcular la integral de su producto, o cuando se ve como funcional en la función [math] f (x), [/ math]

[matemáticas] \ lambda_g (f): = \ int f (x) g (x) dx. [/matemáticas]

Por la desigualdad de Holder, esta integral está limitada. Un funcional lineal es una acción que tiene funciones como entrada. Satisface la linealidad
[matemáticas] \ lambda (\ alpha f_1 (x) + \ beta f_2 (x)) = \ alpha \ lambda (f_1 (x)) + \ beta \ lambda (f_2 (x)), [/ math]
para todas las constantes [math] \ alpha, \ beta [/ math] y funciones [math] f_1 (x), f_2 (x) \ in \ mathcal {L} ^ p. [/ math] Decimos que [math] \ lambda \ in (\ mathcal {L} ^ p) ^ * [/ math], el espacio dual. Un teorema profundo dice que todos esos funcionales se clasifican como integrantes contra una función en el espacio dual. Es decir, si tiene una función lineal, existe una función en [math] \ mathcal {L} ^ q [/ math] tal que
[matemáticas] \ lambda_g (f): = \ int f (x) g (x) dx. [/matemáticas]

Lo contrario también es cierto. Para cada elemento en [math] g (x) \ in \ mathcal {L} ^ q, [/ math] existe un funcional lineal en el espacio dual que representa este elemento. Ver espacio Lp para más detalles.

Voy por cosas simples. Dualidad en un plano proyectivo.

Los axiomas para un plano proyectivo son simples. Tienes cosas llamadas puntos y cosas llamadas líneas. Cada par de puntos determina una línea única, y cada par de líneas determina un punto único. También suele incluir axiomas de no trivialidad, como en cualquier línea, hay al menos tres puntos distintos y tres puntos no colineales.

Una declaración dual es lo que obtienes si intercambias puntos y líneas. Probarás, por ejemplo, los duales de los axiomas de no trivialidad. Luego se deduce que la dualidad de cada teorema en geometría proyectiva es también un teorema.

Configuración de Pappus en un plano proyectivo.

La configuración de Pappus es una configuración auto dual de puntos y líneas. Hay 9 grupos de 3 líneas reunidas en 9 puntos, y hay 9 grupos de 3 puntos en 9 líneas.

La dualidad entre tiempo y frecuencia se convierte casi en una segunda naturaleza para los ingenieros eléctricos. La Transformada de Fourier proporciona los medios para cruzar entre el espacio de frecuencias y el tiempo. Al igual que con los logaritmos (que pueden ser otro ejemplo de dualidad), muchos problemas se resuelven más fácilmente tomando la Transformación de una función que describe el comportamiento de un circuito en el dominio del tiempo y usando esa transformación para examinar el comportamiento del circuito en el dominio de la frecuencia. Lo contrario también funciona también.

Mi ejemplo favorito de dualidad: los politopos tienen politopos dobles, los gráficos tienen gráficos dobles.

La ley de conjuntos de DeMorgan y su equivalencia en álgebra booleana es una dualidad genérica que cubre una gran cantidad de otras propiedades de dualidad como ejemplos. Eso es simplemente [matemáticas] (a \ vee b) ^ {‘} = a ^ {‘} \ wedge b ^ {‘} [/ matemáticas].

Para mí es el teorema fundamental de la teoría de Galois. La red de los campos intermedios de una extensión de campo (con las propiedades correctas) es dual a la red de los subgrupos de su grupo de Galois.

Pero también me gusta la dualidad que se puede observar en los sólidos platónicos.