Explicaría la solución al sistema de masa de resorte con un coeficiente de amortiguación.
Elijo esto porque hay como … un millón de aplicaciones para esta ecuación y proporciona la solución para cualquier otra ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
Ecuación
- ¿Cómo sabemos que [math] 1 - \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ n [/ math] nunca llega a [math] 1.01 [/ math] a medida que [math] n [/ math] aumenta ?
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- Cómo evaluar [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x ^ 2 (x ^ 4 + 1) ^ {\ frac34}} [/ math]
- Si toma 3 manzanas de 5 manzanas, ¿cuántas manzanas tiene?
[matemáticas] m ~ \ ddot {x} + r ~ \ dot {x} + s ~ x = 0 = m ~ \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} + r ~ \ frac {dx} {dt } + s ~ x [/ matemáticas]
Donde, m es la masa del sistema, r es el coeficiente de amortiguación, y s es la constante del resorte (rigidez).
Usamos el método común de solución mediante la fórmula cuadrática. Primero lo reescribimos en una forma más simple.
[matemáticas] a ~ r ^ 2 + b ~ r + c = 0 [/ matemáticas]
Dónde,
[matemáticas] a = m, b = r, \ & ~ c = s [/ matemáticas]
Encontramos que la solución a la cuadrática es …
[matemáticas] r_1 = \ frac {-r + \ sqrt {r ^ 2 – 4 ~ m ~ s}} {2 ~ m} [/ matemáticas]
[matemáticas] r_2 = \ frac {-r – \ sqrt {r ^ 2 – 4 ~ m ~ s}} {2 ~ m} [/ matemáticas]
Y usamos la ecuación fundamental,
[matemáticas] x = c_1 ~ e ^ {r_1 ~ t} + c_2 ~ e ^ {r_2 ~ t} [/ matemáticas]
Insertamos nuestros valores r_1 y r_2.
[matemáticas] x = c_1 ~ e ^ {\ frac {-r + \ sqrt {r ^ 2 – 4 ~ m ~ s}} {2 ~ m} ~ t} + c_2 ~ e ^ {\ frac {-r – \ sqrt {r ^ 2 – 4 ~ m ~ s}} {2 ~ m} ~ t} [/ math]
¡Viola! Tenemos nuestra solución También podemos expresarlo en términos de cosh (x) y sinh (x) si queremos.
** Perdón por usar r en varios lugares, avíseme si esto causa confusión extrema y lo cambiaré **
