Una expresión de forma cerrada en términos de [math] n [/ math] para el producto dado es:
[matemáticas] {\ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ {n} (3i-2) = \ frac {3 ^ n \ Gamma \ left (n + \ frac {1} {3} \ right)} {\ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right)}}; i = 1,2,3… n [/ math]
donde [math] \ Gamma (z) [/ math] es, por supuesto, la función gamma.
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El resultado anterior se puede calcular con Mathematica escribiendo el código:
Producto [3 * i – 2, {i, 1, n}]
Este resultado concuerda con los valores numéricos de los llamados números factoriales triples dados en A007559 – OEIS para [matemáticas] i = 0,1,2,3… n. [/ Matemáticas]
Maple proporciona el siguiente resultado o respuesta equivalente:
[matemáticas] {\ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ {n} (3i-2) = \ frac {3 ^ {n + \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {2} { 3} \ right) \ Gamma \ left (n + \ frac {1} {3} \ right)} {2 \ pi}} [/ math]
Un resultado relacionado más general o una forma cerrada es el siguiente (verificado con Mathematica y Wolfram Alpha):
[matemáticas] {\ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ {n} (a ib) = \ frac {a ^ n \ Gamma \ left (- \ frac {b} {a} + n + 1 \ right)} {\ Gamma \ left (1- \ frac {b} {a} \ right)} = a ^ n \ left (1- \ frac {b} {a} \ right) _n}, [/ math]
donde [math] (x) _n [/ math] es el símbolo de Pochhammer (o factorial ascendente), también escrito usando la siguiente notación:
[matemáticas] {\ displaystyle x ^ {(n)} = x ^ {\ overline {n}} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) \\ \ quad = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x + (k-1)) = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (x + k).} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle x ^ {(n)} = {\ frac {\ Gamma (x + n)} {\ Gamma (x)}}} [/ math]
Cabe señalar que hay otro tipo primario de números factoriales triples, expresados como [math] n !!! [/ math] y dados en A007661 – OEIS.
