De hecho, a muchas series infinitas que normalmente no se espera que sean sumables se les puede asignar un valor finito utilizando la regularización de la función zeta. Por ejemplo, Euler calculó la “suma de todos los enteros positivos”:
[matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots = \ zeta (-1) = – \ frac {1} {12} [/ matemáticas]
porque la función zeta de Riemann [matemática] \ zeta (s) [/ matemática], cuya definición de serie [matemática] \ zeta (s) = \ tfrac {1} {1 ^ s} + \ tfrac {1} {2 ^ s } + \ tfrac {1} {3 ^ s} + \ tfrac {1} {4 ^ s} + \ cdots [/ math] solo converge para [math] \ Re (s)> 1 [/ math], puede ser continuó analíticamente a todos los números complejos [matemática] s \ ne 1 [/ matemática].
Sí, parece una locura, ¡pero mis amigos físicos me dicen que este tipo de suma tiene aplicaciones reales en la teoría cuántica de campos! Vivimos en un universo extraño.
Desafortunadamente, este método todavía no puede calcular la suma de todos los números primos [matemáticas] 2 + 3 + 5 + 7 + \ cdots [/ matemáticas]. Landau y Walfisz (1919) mostraron que la función zeta principal definida por [matemática] P (s) = \ tfrac {1} {2 ^ s} + \ tfrac {1} {3 ^ s} + \ tfrac {1} { 5 ^ s} + \ tfrac {1} {7 ^ s} + \ cdots [/ math] no puede continuar analíticamente más allá de [math] \ Re (s)> 0 [/ math], debido a la agrupación de puntos singulares a lo largo el eje imaginario que surge de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, por lo que no obtenemos un valor natural para [matemáticas] P (-1) [/ matemáticas].
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Esto no excluye la posibilidad de que a la suma de todos los números primos se le pueda asignar un valor finito por algún método más poderoso, pero no sé de una manera de hacerlo.
(¡Sin embargo, puede calcular el producto de todos los números primos con la regularización de la función zeta! [Math] 2 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdots = 4 \ pi ^ 2 [/ math].)
