Uno de los principios con los que se construye la lógica clásica es el no vacío del universo. En otras palabras, siempre hay algo allí y, por lo tanto, debe ser cierto que algo existe en su universo.
Sin embargo, uno no puede simplemente decir que «[matemáticas] x [/ matemáticas] existe» en primer lugar, porque [matemáticas] x [/ matemáticas] no es un objeto de un universo. Es una variable y, por lo tanto, es posible que no exista en el universo tomado en consideración.
Uno puede sentirse tentado a escribir algo como [math] \ exist x [/ math] que, sin embargo, no es un término ni una fórmula. De hecho, no es una expresión de ningún lenguaje formal.
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Veo tres formas de expresar la idea de que algo existe.
- Utilice solo lenguaje de primer orden definido de manera estándar: [matemática] \ existe x (P (x) \ vee \ neg P (x)) [/ matemática]: hay algún objeto que satisface o no satisface una determinada propiedad. Esta es una tautología e implica que existe algún objeto porque de lo contrario (si el universo está vacío) nuestra fórmula no será una tautología.
- Utilice el lenguaje de primer orden con igualdad: [matemáticas] \ existe x ~ x = a [/ matemáticas] – hay algún objeto [matemáticas] x [/ matemáticas] que es el mismo que el objeto [matemáticas] a [/ matemáticas] ( o [matemática] x [/ matemática] es [matemática] a [/ matemática]). También es una tautología porque el universo no está vacío.
- Utilice el lenguaje estándar de segundo orden: [math] \ exist \ mathbf {P} \ exist x \ mathbf {P} (x) [/ math] – existe una propiedad [math] \ mathbf {P} [/ math] y algunas objeto [math] x [/ math] para el que se mantiene esa propiedad. Como un universo no está vacío y dado que una propiedad es simplemente un subconjunto de un universo, la fórmula dada es una tautología.
