En pocas palabras, las ecuaciones de alto grado con varias variables que deben resolverse en enteros son muy, muy difíciles.
¿Por qué? Bueno, ellos simplemente lo son. A menudo no somos lo suficientemente inteligentes como para resolverlos.
El primer punto a tener en cuenta es que si está buscando soluciones en números reales o números complejos , eso suele ser mucho más fácil que buscar soluciones que sean números naturales o racionales .
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Cada número complejo tiene una raíz cuadrada (de hecho, dos de ellos, excepto si es 0), al igual que cada número real positivo. Por lo tanto, resolviendo
[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3 + 17 [/ matemáticas]
Para valores complejos o reales de [matemáticas] x, y [/ matemáticas] no es particularmente desafiante. Para cada número complejo [matemática] x [/ matemática] hay exactamente dos valores de [matemática] y [/ matemática] que funcionan, excepto los tres valores especiales para los cuales [matemática] x ^ 3 + 17 = 0 [/ matemática ] Puede encontrar condiciones simples similares para las soluciones reales. Geométricamente, las soluciones complejas se ven como un toro sin un punto, y las soluciones reales se ven así:
Eso está bastante claro. ¿Pero qué pasa con las soluciones enteras? Con prueba y error puede encontrar algunos, como [matemática] x = 2, y = 5 [/ matemática] o [matemática] x = -1, y = 4 [/ matemática]. ¿Hay otros? ¿Cuántos? ¿Infinitamente muchos? ¿Qué pasa con las soluciones racionales?
En este caso, y en muchos otros, tenemos una teoría maravillosa que nos ayuda a estudiar las soluciones. Esta ecuación es una curva , porque tiene dos variables y es una ecuación única, y tiene un grado 3 porque esa es la potencia más alta que puedes ver aquí. La mayoría de estas ecuaciones pertenecen al universo de curvas elípticas, y son objetos muy estudiados.
La conjetura de Beal, en contraste, tiene 3 variables y es de alto grado:
[matemática] X ^ m + Y ^ n = Z ^ k [/ matemática] con [matemática] m, n, k> 2 [/ matemática].
Esto debe contrastarse con el último teorema de Fermat, que tiene [matemáticas] X ^ n + Y ^ n = Z ^ n [/ matemáticas]. Aquí, los exponentes son todos iguales, por lo que podemos dividir entre [matemática] Z ^ n [/ matemática] y reemplazar el problema con el de encontrar puntos racionales en la curva [matemática] x ^ n + y ^ n = 1 [/matemáticas]. Más interesante, la solución final de este problema vino de una conexión inusual y sorprendente con la curva elíptica [matemáticas] y ^ 2 = x (xX ^ n) (x + Y ^ n) [/ matemáticas] (la curva de Frey). Esto aún requería una enorme cantidad de trabajo ingenioso para resolver, pero de todos modos no se conoce tal reducción para el caso de la conjetura de Beal.
