El más antiguo es, por supuesto, el postulado paralelo, que no se puede probar a partir de los otros axiomas de la geometría euclidiana. (Naturalmente, hay enunciados equivalentes que podrían usarse para probar el postulado paralelo al adoptarlos como axiomas en su lugar. Pero “demostrable” es siempre un término relativo, no un absoluto).
La hipótesis del continuo: no hay una cardinalidad establecida estrictamente mayor que la de los números naturales y estrictamente menor que los números reales.
El Axioma de Elección, que es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos ZF. (Alternativamente, uno podría comenzar con el principio de buen orden).
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También es imposible demostrar la unicidad de los números reales utilizando solo la lógica de primer orden, ya que según el teorema de Lowenheim-Skolem, existe un modelo contable para cualquier teoría contable de primer orden. (Imposibilidad adicional: probar que los enteros son contables, usando solo lógica de primer orden).
Sin embargo, su declaración de la pregunta también permite declaraciones que son imposibles de probar porque son falsas. Hay algunos ejemplos muy interesantes en esta categoría (además de muchas declaraciones falsas sin interés):
“La máquina Turing H acepta el lenguaje que consiste en todos los pares (T, x), donde T es una descripción de una máquina Turing que se detiene en la entrada x” para cualquier máquina H.
“A ^ N + B ^ N = C ^ N” para cualquier número entero positivo A, B, C y N> 2.
“El mapa M requiere 5 colores”. para cualquier mapa plano
“El algoritmo X resuelve el problema de coordinación asincrónica incluso en presencia de falla”.
