Comience escribiendo la serie de potencias de la derivada de Arctan:
[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {Arctan} ‘(z) = \ frac {1} {1 + z ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} (-1) ^ nz ^ {2n }[/matemáticas]
Integre sabiendo que Arctan (0) = 0, y que permanece en el disco de convergencia (radio 1, cf. series geométricas):
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[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {Arctan} (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} z ^ {2n + 1} [ /matemáticas]
Editar: no estaba satisfecho con mi integración en una línea compleja, así que así es como lo haría sin ningún conocimiento sobre la integración compleja.
Tome [math] \ Z \ in \ mathbb C [/ math] tal que [math] | Z | \ lt 1 [/ matemáticas]. Escribamos [math] Z = Re ^ {i \ theta} [/ math] e integre [math] r \ mapsto \ operatorname {Arctan} (re ^ {i \ theta}) [/ math] entre 0 y R:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ R \ operatorname {Arctan} (re ^ {i \ theta}) dr = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} (-1) ^ ne ^ {2in \ theta} \ int_0 ^ R r ^ {2n} dr [/ math]
[matemáticas] \\ \ displaystyle \ frac {1} {e ^ {i \ theta}} \ operatorname {Arctan} (Re ^ {i \ theta}) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} e ^ {2in \ theta} R ^ {2n + 1} [/ math]
que produce el resultado esperado
[matemáticas] \\ \ displaystyle \ operatorname {Arctan} (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} Z ^ {2n + 1 }[/matemáticas]
