¿Una relación de equivalencia en un conjunto necesariamente crea clases de equivalencia que contienen el mismo número de elementos?

Una relación de equivalencia, [matemática] \ sim [/ matemática], simplemente necesita satisfacer tres criterios:

  1. Reflexivo [matemática] x \ sim x [/ matemática]
  2. Simétrica [matemática] x \ sim y \ Leftrightarrow y \ sim x [/ math]
  3. Transitivo [matemática] x \ sim y [/ matemática] y [matemática] y \ sim z \ Flecha derecha x \ sim z [/ matemática]

Cualquier partición de un conjunto en subconjuntos crea una relación de equivalencia por la relación [matemática] x \ sim y [/ matemática] si y solo si [matemática] x, y [/ matemática] están en el mismo subconjunto. Puede verificar que esta relación satisfaga las propiedades anteriores.

Obviamente, esos subconjuntos no necesitan ser del mismo tamaño o cardinalidad. Un pequeño ejemplo sería la partición del conjunto [math] \ {1,2,3 \} [/ math] en los dos subconjuntos [math] \ {1 \} [/ math] y [math] \ {2, 3 \}. [/ Matemáticas]

No. Que A sea el conjunto de autos. Sea E la relación “A los automóviles son equivalentes si son del mismo color”. Probablemente no haya la misma cantidad de autos ecológicos que los autos rosas fuertes en el mundo.

Aquí hay un ejemplo más formal: Sea A el conjunto {x, y, z}. Sea E la relación de equivalencia dada por la partición {{x, y}, {z}}. Entonces, la primera clase que enumeré tiene 2 elementos, mientras que la segunda tiene 1. Más generalmente, cualquier partición de un conjunto da una relación de equivalencia y cualquier relación de equivalencia da una partición. Hay muchas particiones para las cuales los conjuntos de división no son del mismo tamaño.

Hay un caso especial que debe saber sobre dónde es verdadera su afirmación. Sea G un grupo con el subgrupo H. Entonces, la relación de equivalencia en G definida por g ~ k si hay alguna h en H con hg = k divide a G en conjuntos de igual tamaño. Las clases de equivalencia resultantes se denominan cosets del grupo G con respecto al subgrupo H, y el conjunto resultante de cosets se denomina G / H.

Probablemente pueda probar algún tipo de enunciado inverso, pero no parece inmediato o importante.

No, cualquier partición de un conjunto le proporciona una relación de equivalencia en ese conjunto. La partición no necesita dividir el conjunto en clases de igual tamaño.