En general, no conozco ningún método más rápido para encontrar una aproximación decimal de una fracción que simplemente hacer la división.
Para casos específicos, hay trucos mentales que pueden usarse. Estos son similares al truco que uno podría usar para calcular rápidamente 3 * 47 en su cabeza.
3 * 47 = 3 * (50-3) = 150-9 = 141.
Para fracciones con pequeños denominadores, la mejor estrategia para encontrar rápidamente aproximaciones decimales de n / d es memorizarlas.
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1/2 = 0.5
1/3 ~ = 0.3333, 2/3 ~ = 0.6666
1/4 = 0.25, 3/4 = 0.75
1/5 = 0.2, 2/5 = 0.4, 3/5 = 0.6, 4/5 = 0.8
1/6 ~ = 0.1667, 5/6 ~ = 0.8333
(Nos saltaremos el 7 por ahora)
1/8 = 0.125, 3/8 = 0.375, 5/8 = 0.625, 7/8 = 0.875
1/9 ~ = 0.1111, 2/9 = 0.2222, 4/9 ~ = 0.4444, 5/9 ~ = 0.5555, 7/9 ~ = 0.7777, 8/9 ~ = 0.8888
Me salté los n / 7 porque hay otro truco para memorizarlos.
El patrón repetitivo … 142857 … es el mismo para todos los valores en n / 7, siendo solo el punto de partida diferente. Entonces solo necesitas memorizar la secuencia 1-4-2-8-5-7. El punto de partida para n / 7, 0 <n <7, es el enésimo número más pequeño de la secuencia.
1/7 = 0.142857 …
2/7 = 0.285714 …
3/7 = 0.428571 …
4/7 = 0.571428 …
5/7 = 0.714285 …
6/7 = 0.857142 …
Para los denominadores de la forma (x) * (x + 1), hay un truco genial …
Por ejemplo, supongamos que necesita una aproximación decimal para 7/12.
12 = 3 * 4, así que 1/12 no solo = (1/3) * (1/4), sino porque 3 y 4 difieren en 1,
también tenemos 1/12 = 1/3 – 1/4
Entonces 7/12 = 7/3 – 7/4 = 2.3333 … – 1.7500 = 0.58333 …
Podríamos haberlo obtenido igual de rápido al darnos cuenta de que 7/12 = 1/2 + 1/12
que es lo mismo que 7/12 = 0.5 + 0.08333 …
Lo que nos lleva a otro truco mental …
Digamos que tienes 127/324. Puedes dividir esto en fracciones, encontrando la parte más grande del numerador que divide el denominador. El divisor más grande de 324 menos de 127 es 108, así que …
127/324 = 108/324 + 19/324
Podemos dividirlo aún más, ya que 18 también divide 324 …
127/324 = 108/324 + 18/324 + 1/324
simplificando …
127/324 = 1/3 + 1/18 + 1/324
si solo necesitamos una aproximación aproximada, podríamos arrojar 1/324 y simplemente calcular la aproximación como
0.333 + (0.5) * (0.111) = 0.333 + 0.056 = 0.389
El valor real está más cerca de 0.392, por lo que estamos fuera de aproximadamente 3/1000.
No está mal para un cálculo que puedes hacer en tu cabeza. De hecho, si no arrojamos 1/324, sino que lo estimamos como 0.003 (reconociendo que 324 es casi 1/3 de 1000), habríamos obtenido 0.392
El valor aproximado calculado por Pari / GP es 0.3919753086419753086419753086
Si se siente cómodo con la introducción de signos menos en la ecuación, entonces el método anterior se puede extender para elegir el divisor más cercano del denominador al numerador en lugar del más cercano, que es menor que el numerador. Usemos 111/256 como nuestro ejemplo …
111/256 = 128/256 – 17/256
111/256 = 128/256 – 16/256 – 1/256
111/256 = 1/2 – 1/16 – 1/256
111/256 ~ = 0.5 – 0.0625 – 0.004
111/256 ~ = 0.4335
El valor exacto es 0.43359375 (estamos a menos de 1/10000)
Finalmente, para fracciones con numeradores y denominadores muy grandes, como …
87824921/238429271
Si solo quiero una estimación aproximada, redondearé imprudentemente …
88000000/240000000 = 88/240 = 11/30 ~ 1/3
El valor real es de alrededor de 0.36834 …, por lo que mi estimación rápida se redujo en un poco más del 3%.
