¿Cuáles son los espacios de Hilbert en términos laicos?

Si quieres saber qué es un espacio de Hilbert, supondré que al menos conoces un poco de álgebra lineal.

El espacio más importante en álgebra lineal básica es [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], espacio euclidiano en n dimensiones. Un elemento típico es solo un vector de n elementos de números reales, y hay ciertas cosas que podemos hacer con dichos vectores: podemos sumarlos, podemos encontrar el “ángulo” entre dos vectores tomando productos de puntos, y podemos tomar límites de secuencias de vectores.

Para generalizar esto, podríamos considerar que nuestros vectores tienen una lista infinita de coordenadas, de modo que un vector típico se parece a [math] (a_1, a_2, a_3, \ ldots). [/ Math] Podemos agregar tales objetos a uno otro sin ninguna dificultad. Si queremos encontrar el ángulo entre dos de esos vectores, podemos tratar de calcular el producto punto:

[matemáticas] (a_1, a_2, \ ldots) \ cdot (b_1, b_2, \ ldots) = \ sum_i a_i b_i. [/ math]

La dificultad es que este producto puede no converger. Para asegurarnos de que converja, necesitamos exigir que ambas secuencias a_i y b_i sean “sumables al cuadrado”, en el sentido de que

[matemáticas] \ sum_i | a_i | ^ 2 <\ infty. [/matemáticas]

y de manera similar para b_i. Bajo esta suposición, el producto punto de los dos vectores es de hecho finito, y obtenemos una buena noción del ángulo entre dos vectores mediante la fórmula

[matemáticas] v \ cdot w = \ cos \ theta | v | \ cdot | w | [/ math]

donde definimos la longitud | v | de v por la fórmula

[matemáticas] | v | = \ sqrt {v \ cdot v}. [/ math]

Ahora que tenemos una noción apropiada de longitud y ángulos, también tiene sentido hablar de secuencias: decimos que una secuencia de vectores de dimensiones infinitas converge a un vector en particular si las longitudes de sus diferencias con respecto a ese vector tienden a 0. Lo importante es que, al igual que para los números reales y el espacio euclidiano, cualquier secuencia de Cauchy en este espacio realmente converge; en otras palabras, el espacio está completo .

El espacio de vectores de dimensiones infinitas que he descrito hasta ahora define el espacio de Hilbert [math] \ ell ^ 2 (\ mathbb {N}), [/ math] que es sin duda el espacio de Hilbert más simple que existe. Sin embargo, cada espacio de Hilbert es básicamente el mismo que este espacio: si en lugar de simplemente permitir que sus vectores sean indexados por enteros, uno permite que sean indexados por un conjunto arbitrario, entonces habrá obtenido el tipo más general de espacio de Hilbert.

Para un último ejemplo, considere el espacio de funciones f que se definen en el intervalo [matemático] [0,2 \ pi] [/ matemático] e integrable al cuadrado en ese intervalo, en el sentido de que

[matemáticas] \ int_0 ^ {2 \ pi} | f | ^ 2 dx <\ infty. [/matemáticas]

Luego podemos definir el producto interno (piense en el producto de puntos) de dos de esas funciones mediante la fórmula

[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int_0 ^ {2 \ pi} fg \, dx. [/ math]

Esto convierte este espacio de funciones en un espacio de Hilbert, ya que ahora tenemos una noción de producto interno y (más difícil de verificar) el espacio está completo. La serie de Fourier de f (consulte las definiciones en Wikipedia) se asocia a f una secuencia infinita de números [matemática] (a_1, a_2, \ ldots) [/ matemática] (los coeficientes de Fourier ), y esta secuencia es sumable al cuadrado. Y, de hecho, esta secuencia de números le permite a uno reconstruir f. En este sentido, el espacio de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo [matemáticas] [0,2 \ pi] [/ matemáticas] es en realidad el mismo que el espacio de las secuencias sumables al cuadrado, ¡que es el espacio de Hilbert más simple que existe!

Aquí, intento responder a la pregunta suponiendo que la persona que plantea la pregunta se encontró primero con el procesamiento de la señal, y luego con el concepto de espacios de Hilbert. El “lego” en mi respuesta se refiere al lego de la serie de tiempo de procesamiento de señales que tiene el conocimiento de un ingeniero de procesamiento de señales.

Dado que la pregunta está etiquetada con los temas de “procesamiento de señales” y “series de tiempo”, me gustaría señalar que el espacio específico de Hilbert que es relevante para el procesamiento de señales es [matemática] L_2 [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ math] espacios.

[math] L_2 [/ math] los espacios de funciones se definen como el conjunto de todas las funciones [math] f: Domain \ rightarrow Range [/ math], de modo que,

[matemáticas] || f || _ {L2} = \ int_ {Dominio} | f | ^ 2 <\ infty [/ math]

Los espacios de señal [matemática] l_2 [/ matemática] tienen una definición similar, pero con el concepto de “función” reemplazado por el concepto específico de “secuencias”, y la integración reemplazada por una suma. (Alternativamente, para modificar la definición de espacios [matemática] l_2 [/ matemática], se puede ver la integración de la definición anterior como definida en la medida de conteo).

Para una aplicación en series de tiempo o procesamiento de señales, el dominio es típicamente el eje de tiempo [matemáticas] Dominio \ subconjunto \ mathbb {R} [/ matemáticas]. Las aplicaciones de procesamiento de imágenes pueden tener el dominio de la función como [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].

Existen varias ventajas para modelar señales como funciones en [math] L_2 [/ math].

La norma [matemática] L_2 [/ matemática] puede interpretarse como el concepto físico de energía o como una generalización del concepto geométrico de la distancia euclidiana.

Entonces, el significado físico de ser [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] es que la señal o serie temporal tiene energía finita , una suposición razonable basada en leyes físicas. Un modelo de señal [matemática] L_2 [/ matemática] permanece, por lo tanto, lo suficientemente general, sin dejar de estar basado en la realidad física.

Ahora, veamos la importancia del producto interno (ref. Respuesta del usuario de Quora) para el procesamiento de señales y series de tiempo. El filtrado es un concepto de mucha importancia práctica para procesar señales y series temporales. Como se puede aprender de un texto básico sobre el procesamiento de señales, el filtrado (lineal) es típicamente una operación lineal para procesar la señal y producir una señal deseable. Por ejemplo, uno puede querer eliminar las oscilaciones ruidosas (de alta frecuencia) “suavizando” una serie de tiempo.

La operación de filtrado lineal en funciones continuas toma la forma de convolución. Al adoptar una terminología estándar, para una señal [matemática] f (t) [/ matemática] y “filtro” [matemática] h (t) [/ matemática]

[matemáticas] f (t) * h (t) = \ int f (\ tau) h (t – \ tau) dt [/ matemáticas]

Se puede ver que la existencia del producto interno facilita un tratamiento matemático de la operación de filtrado.

En el procesamiento de señales y series de tiempo, uno encuentra útil representar las señales de una manera diferente a las series de tiempo habituales. Por ejemplo, una señal sinusoide extendida sobre una duración de tiempo arbitrariamente grande puede representarse como un solo pico en el dominio de Fourier. Los ejemplos más avanzados incluyen la representación de señales alegres y música usando cuadros Gabor e imágenes usando wavelets. Para tales representaciones, uno encuentra útil definir las señales como pertenecientes a un espacio vectorial ( http://mathworld.wolfram.com/Vec …). [math] L_2 [/ math] es uno de esos espacios vectoriales. Una forma matemáticamente conveniente de expresar señales es como combinaciones lineales de “átomos” bien comportados. Un ejemplo de tal átomo son los senos y cosenos de la transformada de Fourier / serie de Fourier.

La representación exacta de una señal en términos de “átomos” deseados (generalmente ortonormal, o al menos cuadros ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fra …)) se puede encontrar proyectando las señales en cada átomo ( es decir, tomar el producto interno de la señal y cada átomo). Esta es otra utilidad para definir el producto interno en el conjunto de todas las señales en el procesamiento de señales.

¿Cuáles son los espacios de Hilbert en términos laicos?

Presentación del espacio de Hilbert en un marco semiformal:

Primero, permítanme definir formalmente qué es una función [matemática] L ^ 2 [/ matemática], y su significado físico como una introducción preliminar antes de discutir el espacio de Hilbert, para tener una idea de ello.

[matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas] -Funciones:

Considere una función, por ejemplo, [math] v (x): (- \ infty, \ infty) \ Longrightarrow \ mathbb {R} [/ math]

La notación abreviada anterior establece una función de valor escalar unidimensional v, definida en el rango ( [matemática] – \ infty [/ matemática] , [matemática] \ infty [/ matemática] ), tomando cualquier valor en el dominio ( [matemática] – \ infty [/ matemática] , [matemática] \ infty [/ matemática] ) para obtener un número real (escalar).

Tal función [matemática] v (x) [/ matemática] es una función [matemática] L ^ 2 [/ matemática] si:

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} v (x) ^ 2 \, dx <\ infty [/ math]

En términos simples, el cuadrado de la función, integrado sobre el dominio, permanece acotado.

Algunos de los ejemplos de funciones [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas] son:

  1. [matemáticas] v (x) [/ matemáticas] = constante
  2. [math] v (x) [/ math] es un polinomio de cualquier orden acotado, como [math] \ sum_ {i = 0} ^ {k} a_i x ^ i [/ math]

Ahora, dado que la función [math] v (x) [/ math] está acotada, ¿qué se puede decir sobre la acotación de [math] \ frac {dv} {dx} [/ math] (su gradiente / s)?

Esta pregunta es respondida por la aplicación del espacio de Hilbert como:

[matemáticas] v (x) \ en H ^ 1 (- \ infty, \ infty) [/ matemáticas] si

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} v (x) ^ 2 + L ^ 2 \ frac {dv} {dx} ^ 2 \, dx <\ infty [/ math]

Observación: [matemática] L ^ 2 [/ matemática] se ha introducido para encargarse del cambio dimensional.

Se puede ver que el espacio [matemático] H ^ 1 [/ matemático] asegura la integrabilidad cuadrada de la función, así como su primera derivada que permanece acotada. En general, el espacio [math] H ^ n [/ math] asegurará la delimitación de la función, su primera derivada, hasta la enésima derivada de la función, equipando la función para que permanezca acotada hasta su n- derivada de orden

[matemáticas] \ color {rojo} {En \, otras \, palabras, \, Hilbert \, espacio-n \, es \, a \, función \, espacio, \, que \, consiste \, de \, el \, family \, of \, all \, funciones \, que \, y \, of \, which \, n-th \, order \, gradients \, are \, square \, integrable \, y \, permanecen \, acotado \, en \, el \, dominio.} [/ math]

Aplicación (Mecánica): en el ámbito del Método de elementos finitos, uno está interesado en la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica lineal. Una forma es resolver el PDE analíticamente para obtener soluciones exactas puntuales (lo cual es bastante engorroso mientras se manejan geometrías complejas y / o modelos de materiales no lineales).

Se puede debilitar la PDE elíptica puntual (forma diferencial / forma fuerte) en una forma integral (forma débil) confiando en la formulación variacional o la formulación de Galerkin. Se establece la equivalencia de las formas fuertes y débiles. (Consulte la literatura)

En forma puntual (diferencial / fuerte) de PDE elíptica, la variable de campo de interés debe ser dos veces diferenciable, para garantizar la continuidad del campo, mientras que, en una formulación débil de PDE elíptica, la misma variable de campo de interés debería ser diferenciable solo una vez, para garantizar la continuidad.

La forma débil de la PDE elíptica 1-D en el dominio (0, L) se indica como:

Encuentre [math] u (x) \ in \ mathbb {S} = {u \ hspace {0.5cm} | \ hspace {0.5cm} u (0) = u_0} [/ math]

dada la condición de límite de dirichlet [matemática] u_0 [/ matemática], tracción puntual [matemática] t [/ matemática], fuerza corporal [matemática] f (x) [/ matemática] y la relación constitutiva [matemática] \ sigma = E \ frac {du} {dx} [/ matemáticas]

tal que para todos [math] w \ in \ mathbb {V} = {w \ hspace {0.5cm} | \ hspace {0.5cm} w (0) = 0} [/ math], se cumple la siguiente forma débil:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ L \ frac {dw} {dx} \ sigma A \, dx = \ displaystyle \ int_0 ^ L wf A \, dx + w (L) tA [/ math]

Tenga en cuenta que la variable de campo de interés aquí, [math] u (x) [/ math] es un elemento de un espacio de solución [math] \ mathbb {S} [/ math] que todavía es de dimensión infinita. [matemática] A [/ matemática] es el área uniforme de la sección transversal y [matemática] w (x) [/ matemática] es la función de ponderación.

Ahora que uno ha debilitado el PDE en una ecuación integral (forma débil), en lugar de evaluar la solución exacta de dimensión infinita, [matemática] u (x) [/ matemática] (que es casi imposible en escenarios complejos o no lineales) , buscamos soluciones aproximadas / de prueba de dimensiones finitas [matemática] \ tilde {u} (x) [/ matemática], por lo general, se elige una forma polinómica truncada que satisfaga la suficiente diferenciabilidad. Entonces, la forma débil se convertirá en forma débil de dimensión finita como:

Encuentre [matemáticas] \ tilde {u} (x) \ in \ tilde {\ mathbb {S}} = {\ tilde {u} \ en H ^ 1 (0, L) \ hspace {0.5cm} | \ hspace { 0.5cm} \ tilde {u} (0) = u_0} [/ math]

De modo que, para todos [matemáticas] \ tilde {w} \ in \ tilde {\ mathbb {V}} = {\ tilde {w} \ in H ^ 1 (0, L) \ hspace {0.5cm} | \ hspace {0.5cm} \ tilde {w} (0) = 0} [/ math], se cumple la siguiente forma débil de dimensión finita:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ L \ tilde {\ frac {dw} {dx}} \ tilde {\ sigma} A \, dx = \ displaystyle \ int_0 ^ L \ tilde {w} f A \, dx + \ tilde {w} (L) tA [/ matemáticas]

Vemos que la solución de prueba de dimensión finita [math] \ tilde {u} (x) [/ math] se elige del espacio Hilbert-1, que es un subespacio del espacio de solución [math] \ mathbb {S} [/ math], de modo que la función [math] \ tilde {u} (x) [/ math] y su primera derivada permanecerán delimitadas en todo el dominio.

De este modo, la relevancia física del espacio de Hilbert se aclara desde un punto de vista mecánico.

Los lectores pueden referirse:

Método de elementos finitos – Wikipedia

Álgebra lineal – Wikipedia

Análisis numérico – Wikipedia