Si quieres saber qué es un espacio de Hilbert, supondré que al menos conoces un poco de álgebra lineal.
El espacio más importante en álgebra lineal básica es [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], espacio euclidiano en n dimensiones. Un elemento típico es solo un vector de n elementos de números reales, y hay ciertas cosas que podemos hacer con dichos vectores: podemos sumarlos, podemos encontrar el “ángulo” entre dos vectores tomando productos de puntos, y podemos tomar límites de secuencias de vectores.
Para generalizar esto, podríamos considerar que nuestros vectores tienen una lista infinita de coordenadas, de modo que un vector típico se parece a [math] (a_1, a_2, a_3, \ ldots). [/ Math] Podemos agregar tales objetos a uno otro sin ninguna dificultad. Si queremos encontrar el ángulo entre dos de esos vectores, podemos tratar de calcular el producto punto:
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[matemáticas] (a_1, a_2, \ ldots) \ cdot (b_1, b_2, \ ldots) = \ sum_i a_i b_i. [/ math]
La dificultad es que este producto puede no converger. Para asegurarnos de que converja, necesitamos exigir que ambas secuencias a_i y b_i sean “sumables al cuadrado”, en el sentido de que
[matemáticas] \ sum_i | a_i | ^ 2 <\ infty. [/matemáticas]
y de manera similar para b_i. Bajo esta suposición, el producto punto de los dos vectores es de hecho finito, y obtenemos una buena noción del ángulo entre dos vectores mediante la fórmula
[matemáticas] v \ cdot w = \ cos \ theta | v | \ cdot | w | [/ math]
donde definimos la longitud | v | de v por la fórmula
[matemáticas] | v | = \ sqrt {v \ cdot v}. [/ math]
Ahora que tenemos una noción apropiada de longitud y ángulos, también tiene sentido hablar de secuencias: decimos que una secuencia de vectores de dimensiones infinitas converge a un vector en particular si las longitudes de sus diferencias con respecto a ese vector tienden a 0. Lo importante es que, al igual que para los números reales y el espacio euclidiano, cualquier secuencia de Cauchy en este espacio realmente converge; en otras palabras, el espacio está completo .
El espacio de vectores de dimensiones infinitas que he descrito hasta ahora define el espacio de Hilbert [math] \ ell ^ 2 (\ mathbb {N}), [/ math] que es sin duda el espacio de Hilbert más simple que existe. Sin embargo, cada espacio de Hilbert es básicamente el mismo que este espacio: si en lugar de simplemente permitir que sus vectores sean indexados por enteros, uno permite que sean indexados por un conjunto arbitrario, entonces habrá obtenido el tipo más general de espacio de Hilbert.
Para un último ejemplo, considere el espacio de funciones f que se definen en el intervalo [matemático] [0,2 \ pi] [/ matemático] e integrable al cuadrado en ese intervalo, en el sentido de que
[matemáticas] \ int_0 ^ {2 \ pi} | f | ^ 2 dx <\ infty. [/matemáticas]
Luego podemos definir el producto interno (piense en el producto de puntos) de dos de esas funciones mediante la fórmula
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int_0 ^ {2 \ pi} fg \, dx. [/ math]
Esto convierte este espacio de funciones en un espacio de Hilbert, ya que ahora tenemos una noción de producto interno y (más difícil de verificar) el espacio está completo. La serie de Fourier de f (consulte las definiciones en Wikipedia) se asocia a f una secuencia infinita de números [matemática] (a_1, a_2, \ ldots) [/ matemática] (los coeficientes de Fourier ), y esta secuencia es sumable al cuadrado. Y, de hecho, esta secuencia de números le permite a uno reconstruir f. En este sentido, el espacio de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo [matemáticas] [0,2 \ pi] [/ matemáticas] es en realidad el mismo que el espacio de las secuencias sumables al cuadrado, ¡que es el espacio de Hilbert más simple que existe!