La teoría matroide busca axiomatizar los conceptos básicos del álgebra lineal. Por lo tanto, un matroide puede definirse por objetos que imitan:
- función de rango
- espacios vectoriales (llamados “pisos”)
- conjuntos independientes (llamados “bases”)
- conjuntos dependientes mínimos (llamados “ciclos”)
El logro fundamental de la teoría matroide es que todas esas definiciones son equivalentes. Los matroides se pueden obtener a partir de gráficos (algunos los ven como generalización de gráficos) a partir de álgebra lineal y otras construcciones. Sin embargo, en el principal teórico de las matroides no están interesados en tener matroides notables o altamente simétricos, esta es una diferencia con la teoría de grafos. También la teoría extrema está menos desarrollada.
La teoría matroide se centra en la cuestión de la realizabilidad. ¿Sobre qué campos se puede realizar un matroide? Los matroides regulares son matroides que se pueden representar sobre cualquier campo. Aquellos admiten una buena caracterización y pueden ser probados fácilmente. En la teoría de Matroid para los geómetras algebraicos se enumeran más resultados en esa dirección de investigación.
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Otra dirección de investigación es generalizar la noción de matroides. Aquí hay algunos que me interesan:
- Coxeter matroid, básicamente nos extendemos de las nociones de elementos de base de ordenamiento y queremos considerar cosas como matroides simplécticos.
- Orientado a matroides, esta vez las bases llevan una orientación.
- Matroides sobre un anillo, la idea es hacer teoría de números sobre matroides.
Por supuesto, hay muchas otras direcciones de investigación. Por ejemplo, otro es generalizar la topología a los matroides, ver el teorema de homotopía de Tutte para los primeros trabajos sobre el tema.
