Esta es una pregunta hermosa, ¡y desearía que más personas la siguieran! En lo personal, he encontrado muchas cosas buenas relectura sobre equivalencias de categorías y funtores aditivos que consulte Respuesta a este problema como una oportunidad de aprendizaje única y hermosa. No desarrollaré el fondo aquí, pero mis fuentes fueron las siguientes páginas de wikipedia; Equivalencia de Morita – Wikipedia, Equivalencia de categorías – Wikipedia. De todos modos vamos a seguir adelante con ella!
Deje que [matemáticas] R, S [/ matemáticas] sean anillos equivalentes de Morita, y deje que
[matemáticas] …. \ a M_1 \ a M_2 \ a M_3 \ a …… [/ math]
- Las matemáticas son la cuna de toda creación sin la cual el mundo no puede moverse ni una pulgada. ¿Cuánto estás de acuerdo?
- ¿Pueden considerarse los puntos de convergencia de simetrías de calibre como los ceros críticos de Riemann?
- ¿Qué debo saber para usar correctamente la notación sigma?
- ¿Por qué se llama 1.618 una proporción áurea?
- ¿Podrías ayudarme a entender este problema de lógica de sentencia?
ser una secuencia exacta de los módulos izquierdos [matemáticos] R [/ matemáticos]. Por pereza, voy a utilizar la notación [matemáticas] M_ {i} \ M_ {a j} [/ matemáticas] para indicar qué morfismo Me refiero a, y voy a utilizar [matemáticas] ker (M_ {i}, M_ {j}) \ text {y} im (M_ {i}, M_ {j}) [/ matemáticas] para hablar de los granos y las imágenes de los mapas. Por Morita equivalencia, podemos aplicar un funtor de equivalencia [matemáticas] \ mathscr {f} [/ matemáticas] que nos lleva desde la categoría de la izquierda R [matemáticas] [/ matemáticas] -modules a la izquierda [matemáticas] S [/ matemáticas] – módulos. Desde [matemáticas] \ mathscr {F} [/ math] es una equivalencia, obtenemos un objeto (izquierda [matemáticas] S [/ math] -module) para cada objeto (R-módulo de la izquierda), y los morfismos correspondientes entre ellas ;
[matemáticas] …. \ to N_1 \ to N_2 \ to N_3 \ to …… [/ math]
Estos corresponden morfismos de una manera agradable desde [matemáticas] \ mathscr {f} [/ matemáticas] es aditivo, y una equivalencia, por lo tanto, biyectiva. En particular, debido a la aditividad, ya que [matemáticas] M_ {1} \ a M_3 [/ matemáticas] es el mapa de cero por la exactitud, se obtiene de forma gratuita que [matemáticas] N_ {1} \ a N_3 [/ matemáticas] es cero , demostrando que nuestra secuencia de izquierda [matemáticas] S [/ matemáticas] -modules es un complejo.
Se deja a demostrar que este complejo es exacta. Procedemos por contradicción. Deje [matemáticas] x [/ math] ser un elemento no nulo de [matemáticas] ker (N_ {2}, N_ {3}) \ text {y no} im (N_ {1}, N_ {2}) [/ matemáticas ], y considerar el submódulo no trivial [matemáticas] Sx \ ker leq (N_ {2}, N_ {3}) [/ math], que genera. Esto implica [matemáticas] \ mathscr {F} ^ {- 1} (Sx) \ leq ker (M_ {2}, M_ {3}) = im (M_ {1}, M_ {2}) [/ matemáticas]. Tire [matemáticas] \ mathscr {F} ^ {- 1} (Sx) [/ matemáticas] de nuevo a [matemáticas] M_ {1} [/ matemáticas] para obtener un submódulo [matemáticas] A \ leq M_ {1} [/ matemáticas]. Como [math] A \ hookrightarrow M_ {1} [/ math], [math] \ mathscr {F} (A) \ hookrightarrow N_ {1} [/ math] por equivalencia y [math] \ mathscr {F} ( a) [/ matemáticas] es la imagen inversa de [matemáticas] en Sx [/ matemáticas], una contradicción. Por lo tanto [matemáticas] ker (N_ {2}, N_ {3}) = im (N_ {1}, N_ {2}) [/ math] y \ mathscr {F} [/ math] conserva secuencias exactas [matemáticas].
He dejado algunos detalles menores de la conmutatividad del diagrama subyacente dejado fuera, pero las partes claves de esta prueba se basan en equivalencia.
Gracias por leer y por hacer esta pregunta 🙂
