¿Cuáles son algunos libros de lectura obligatoria para los aspirantes a matemáticos?

De mi lista de lectura, me gustaría agregar lo siguiente a esta brillante colección de libros de lectura obligatoria:

1. ¿Qué son las matemáticas?
2. Matemáticas: una introducción muy breve por Timothy Gowers.
3. El arte y la artesanía de la resolución de problemas por Paul Zeitz.
4. Cartas a un joven matemático (Art of Mentoring) de Ian Stewart.
5. Conceptos de matemática moderna por Ian Stewart.
6. Cálculo de Michael Spivak.
7. Geometry: Euclid and Beyond por Robin Hartshorne.
8. Combinatoria: Temas, Técnicas, Algoritmos de Peter J. Cameron.
9. Álgebra lineal hecha a la derecha por Sheldon Axler.
10. Pruebas del libro de Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Karl H. Hofmann.
11. Álgebra por I. Martin Isaacs.

Recomiendo estos dos libros para cuando quieras ponerte serio en matemáticas
Principios del análisis matemático Walter Rudin
Análisis real y complejo Walter Rudin
Estos libros representan la transición de alguien que puede usar las matemáticas a alguien que tiene la capacidad de ser un matemático profesional. Estos libros no son para diletantes. Estos libros también tienen más sabor de las matemáticas avanzadas que lo que ves en textos universitarios de nivel bajo y medio. El material no está predigerido para facilitar su consumo.

Me gustaría enfatizar que mucho más importante que leer matemáticas es hacer matemáticas. Aquí hay un cómic de Abstruse Goose que ilustra este punto:

Un buen libro de matemáticas debe tener buenos ejercicios. Un aspirante a matemático debe hacer tantos ejercicios como pueda. Esa es la única forma de entender realmente el material.

La mayor parte de mi conocimiento universitario de matemáticas no proviene de los libros, sino de las conferencias de mis profesores, de pensar y hacer los ejercicios que mis profesores me han asignado, y de hablar con mis compañeros sobre matemáticas.

Por lo tanto, creo que en realidad no hay ningún libro “imprescindible”. Sin embargo, hay muchos ejercicios “imprescindibles”.

(Otro problema es que hay muchos tipos diferentes de “aspirantes a matemáticos”. ¿Eres un estudiante de secundaria? ¿Un estudiante universitario? ¿Un estudiante graduado? ¿O …?)

De todos modos, sin más preámbulos, aquí hay algunos libros de nivel universitario que creo que tienen buenos ejercicios, ejercicios “imprescindibles”, en los cuatro temas “básicos” de álgebra lineal, álgebra abstracta, análisis real y análisis complejo.

• Álgebra lineal realizada correctamente por Axler (NB: asegúrese de leer la respuesta de Yan Zhang a ¿Cómo puedo estudiar algebra lineal?)
• Álgebra abstracta por Dummit y Foote
• Principios del análisis matemático de Rudin (o alternativamente Análisis elemental: La teoría del cálculo de Ross para una versión más ligera de Rudin)
• Notas sobre la teoría de la función compleja de Sarason

Si tiene una buena base (medida por los ejercicios que puede hacer) en estas cuatro materias, podrá comenzar a abordar casi cualquiera de los temas más avanzados (excepto posiblemente cosas de lógica / teoría de conjuntos).

Otro tema “básico” y más básico de pregrado que estoy descuidando aquí es la matemática discreta: combinatoria, teoría básica de números, teoría de probabilidad, teoría de grafos, algoritmos básicos. Pero no conozco ningún buen libro sobre estos temas fuera de mi cabeza. (Nuevamente, aprendí principalmente ese material de conferencias y no de libros).

No estoy seguro de cuán autoritario puedo ser sobre este tema, dado que todavía estoy aspirando, pero suponiendo que la información en este libro sea correcta, entonces es un libro bastante bueno.

[Guía de supervivencia de un matemático por Steven Krantz]

Aquí no hay nada sobre matemáticas, pero da una idea de cómo funciona todo el proceso de terminar la escuela de posgrado y encontrar un trabajo como matemático, que es algo que creo que muchas personas no se dan cuenta cuando buscan para hacer esto como una carrera.

EDITAR: Aparentemente, esto ya se mencionó en la respuesta del usuario de Quora a ¿Cuáles son algunos libros que deben leer los matemáticos aspirantes ?, así que veamos si puedo pensar en otro.

Creo que recomendaré leer los diversos textos introductorios de Vladimir Arnold. Como algebraista, gran parte de su trabajo cae fuera de mi área de interés, pero sus libros siempre expanden la mente y presentan otros temas de una manera que me ayuda a entender por qué alguien estaría interesado en ellos en primer lugar.

¡Una lista como esta siempre me hace anhelar los momentos en que tenía todo el tiempo del mundo para leer! Como programador de trabajo, rara vez puedo permitirme tanto tiempo libre. Sin embargo, me gustaría agregar los siguientes libros al hilo: estos han estado en mi lista de “leer” por un tiempo, y he leído fragmentos de ellos (pero, lamentablemente, no terminé ninguno). Por lo tanto, antes de realizar una compra, se recomienda encarecidamente recopilar opiniones independientes.

Mi lista:

• La clase magistral de Cauchy-Schwarz: Una introducción al arte de las desigualdades matemáticas: http://www.amazon.com/The-Cauchy …
• Sobre la generación de funciones y series (en línea gratis): http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
• Pruebas sin palabras: Ejercicios de pensamiento visual: http://www.amazon.com/Proofs-wit … Esta es una lectura interesante porque las pruebas matemáticas se presentan solo como diagramas (en su mayoría). Tiene una secuela también.
• Pruebas que realmente cuentan: El arte de la prueba combinatoria: http://www.amazon.com/Proofs-tha … Del prólogo: ” Cada prueba en este libro se reduce a un problema de conteo, típicamente enumerado de dos maneras diferentes … Ofrecemos pruebas que realmente cuentan como el equivalente contable del enfoque visual adoptado por Roger Nelsen en las pruebas sin palabras I y II ”
• La mecánica matemática: uso del razonamiento físico para resolver problemas: http://www.amazon.com/Mathematic … Una vez más, una lectura poco común porque la física se utiliza para demostrar teoremas en matemáticas en lugar de al revés. Desde el prólogo: ” Sin embargo, el libro se venga exactamente —o quizás solo administra un pinchazo— contra la opinión de que las matemáticas son un servidor de la física. En este libro, la física se pone a trabajar para las matemáticas, demostrando ser un servidor muy eficiente ( con disculpas a los físicos). Las ideas físicas pueden ser una verdadera revelación y pueden sugerir una solución sorprendentemente simplificada a un problema matemático. Los dos sujetos están tan íntimamente entrelazados que ambos sufren si están separados. Un cambio de rol ocasional puede ser muy fructífero, ya que esto libro ilustra ” .
• Un curso de combinatoria: http://www.amazon.com/Course-Com …
• Formas ganadoras para sus juegos matemáticos – volúmenes 1 a 4: http://www.amazon.com/Winning-Wa … Un libro sobre análisis matemático de juegos, no un libro de teoría de juegos riguroso, pero muy interesante en su estudio de varios tableros. juegos, etc.

También, Mathematical Apocrypha Redux ( http://www.amazon.com/Mathematic …) – esto no tiene matemática, pero contiene muchas anécdotas interesantes sobre matemáticos. Me pareció interesante porque me permitió analizar el tipo de vida que llevan los matemáticos (aunque las anécdotas compiladas son en su mayoría ingeniosas o humorísticas, es una muestra sesgada). Si desea una muestra del libro, puede consultar aquí: http://quipu-strands.blogspot.in … (Descargo de responsabilidad: mi blog)

“Todas las matemáticas que te perdiste: pero necesitas saber para la escuela de posgrado” ( http://www.amazon.com/All-Mathem …)

Este libro es un buen resumen de muchos temas diferentes que pueden haberse pasado por alto en los estudios de pregrado. Es relativamente informal pero bastante informativo. Al comienzo de cada capítulo, establece “los objetos de este campo” y “las funciones entre los objetos”, colocando a cada sujeto sutilmente en alguna categoría de luz teórica.

¡Guau, finalmente una gran pregunta que puedo responder! 🙂

Creo que hace un tiempo, en la misma posición que la persona que hizo esta pregunta (o al menos en la misma posición que la persona a la que estaba destinada esta pregunta). Estaba en el último año de secundaria, ansioso por aprender más sobre el tema que realmente me interesaba: las matemáticas.

En ese momento, quora aún no existía, así que hice una pregunta similar a esta en otro lugar de preguntas y respuestas: mathoverflow (MO). Si sigue interesado en las matemáticas y lo estudiará en la universidad, este sitio web es excelente si desea hacer preguntas sobre matemáticas de nivel de investigación (por lo que la pregunta que planteé allí no era realmente apropiada). Hay otro sitio web, llamado matemáticas . stackexchange .com, que está destinado específicamente para preguntas sobre matemáticas en un nivel ligeramente inferior. Este puede ser un lugar más apropiado para usted 😉

De todos modos, mi pregunta sobre MO generó mucha atención. Aquí está:

• http://mathoverflow.net/question …

Sin embargo, dado que muchas de las personas que publican respuestas son investigadores en matemáticas, muchas de las respuestas presentadas incluyen libros que requieren mucha más madurez matemática que el matemático aspirante promedio en la escuela secundaria. Sin embargo, la respuesta principal de Tom Boardman fue diferente. En lugar de darme una lista de libros, me aconsejó elegir cuidadosamente mi propio conjunto de aproximadamente 5 libros. Y luego comencé a buscar en Amazon, creando listas de deseos de todo tipo. Finalmente, se me ocurrió la siguiente lista:

1. Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas – William Dunham

Este libro es una gran combinación de narración de historias y matemáticas reales. Dunham entrelaza elementos biográficos de matemáticos con el trabajo que hicieron. Todo el libro se presenta con una claridad muy agradable, presentando una prueba en cada capítulo, y estas pruebas son accesibles para cualquier estudiante de secundaria (si está dispuesto a leer todo con cuidado). Muy recomendable!

2. Teoría elemental de números – Underwood Dudley

Este libro es un tratamiento accesible de la teoría de números elemental. Es genial porque hay muchos ejercicios, ¡ incluyendo respuestas ! Esto es importante, porque probablemente trabajarás en este libro de forma independiente. Incluye secciones sobre aritmética modular, números perfectos, reciprocidad cuadrática y un poco de teoría analítica de números (no se preocupe, está bien si aún no comprende estas palabras).

3. Análisis elemental: la teoría del cálculo – Kenneth Ross

Este libro es genial porque realmente se basa en el conocimiento adquirido en la escuela secundaria. Si bien es probable que haya aprendido a diferenciarse e integrarse, probablemente todavía no sepa por qué encontrar la inclinación de la pendiente de una función en un punto particular equivale a diferenciar la función de la manera en que la aprendió. Además, este libro contiene capítulos sobre continuidad, convergencia y secuencias y series. Una vez más, este libro se complementa con muchos ejercicios, sugerencias y soluciones. Es importante hacer estos ejercicios si quieres convertirte en matemático, incluso si crees que es trivial. Le permite fortalecer su capacidad de articular sus ideas.

4. Un libro de álgebra abstracta: segunda edición – Charles Pinter

Realmente amo este libro. El álgebra abstracta es un tema que no le gusta nada de lo que aprendió en la escuela secundaria, por lo que es importante que los nuevos conceptos en esta área de las matemáticas se presenten claramente. Pinter hace un gran trabajo en esto. Aprenderá sobre grupos, anillos y campos, en ese orden. Eventualmente, conocerá suficiente teoría de Galois para saber por qué es imposible resolver la ecuación quíntica general (es decir, la ecuación de la forma [matemática] ax ^ 5 + bx ^ 4 + cx ^ 3 + dx ^ 2 + ex + f = 0 [/ math] no se puede resolver con radicales, lo que significa que no existe un método mediante el cual pueda resolver esta ecuación, mientras que es posible resolver, por ejemplo, la ecuación cuadrática general: [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas], como aprendiste en la escuela secundaria. Material muy interesante sobre un área de las matemáticas que realmente ha florecido este siglo y el anterior, permitiendo a las personas estudiar problemas matemáticos de una manera completamente diferente ( busque las citas de Alexandre Grothendieck sobre cómo abrir una nuez …) Una vez más, elegí un libro para usted que incluye muchos ejercicios y soluciones.

Debo señalar que en este punto, y solo en este punto, no estoy de acuerdo con la evaluación de Alon Amit. Creo que “Algebra” de Artin es genial, pero no creo que te sirva bien como estudiante de secundaria independientemente aprendiendo algunas nuevas matemáticas. Creo que te ayudará más si lo usas como un segundo libro sobre Álgebra abstracta.

5. Teoría ingenua de conjuntos – Paul Halmos

Lo más probable es que este libro contenga toda la teoría de conjuntos que necesitará saber como matemático. Halmos tiene una comprensión muy profunda del tema y es capaz de contarlo con pasión y claridad al mismo tiempo. Otro gran primer libro sobre el tema es la teoría clásica de conjuntos para el estudio independiente guiado de Derek Goldrei, que contiene soluciones a los ejercicios presentados (a diferencia del libro de Halmos).

6. Matemática conceptual: una primera introducción a la teoría de categorías – Lawvere y Schanuel

Este libro trata sobre un área relativamente nueva en matemáticas: la teoría de categorías. Es muy accesible para estudiantes de secundaria. La teoría de categorías aclara muchas conexiones entre (aparentemente) áreas dispares de las matemáticas. No hay soluciones para los ejercicios, pero es una buena lectura.

7. Pruebas y refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático – Imre Lakatos

Este no es realmente un libro sobre matemáticas, sino más bien un libro sobre filosofía de las matemáticas. Le proporciona información sobre cómo trabajan los matemáticos y qué están haciendo exactamente. Gran lectura

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Como dije, realmente deberías hacer los ejercicios en todos estos libros. Te convertirás en un mejor matemático si lo haces.

Omití libros sobre varias áreas que probablemente cubrirá en su primer año, porque no hay un solo libro definitivo sobre la “mejor elección” sobre el tema, o porque siento que realmente no disfrutará de prepararlos solo por diversión. Para las matemáticas de múltiples variables, sugeriría los libros de Courant y Robbins: Introducción al cálculo y análisis: Vol. II / 1 y II / 2 . Sin embargo, la mayoría de los libros estándar sobre el tema utilizados por su universidad probablemente serán suficientes. Para topología, recomendaría Topología de Janich.

Habrá materias que encontrará durante sus estudios que no le gustarán, eso está bien siempre que le guste la mayoría de las materias, o al menos las principales en su conjunto.

Además, me gustaría enfatizar que estoy totalmente de acuerdo con las sugerencias dadas por Alon Amit (aparte de su sugerencia sobre álgebra).

¡Buena suerte y, lo que es más importante, diviértete en tus aventuras matemáticas!

Teoría de conjuntos axiomáticos, por Patrick Suppes
Análisis real, por Hal Royden
Una introducción al análisis real no estándar, por Al Hurd y Peter Loeb
Álgebra lineal, por Hoffman y Kunze
Topología general, por Kelley
Semigrupos topológicos, por Koch, Carruth e Hildebrant
Un curso de álgebra universal, de Burris y Sankappannavar
Teoría de la categoría, por Herrlich y Strecker
Teoría de la gavilla, por Tennison
Modelos y ultraproductos, de Bell y Slomson
Varios libros sobre teoría y estadística de probabilidad (no recuerdo títulos o autores en estos casos)
La teoría de conjuntos y el problema continuo, por Smullyan y Fitting
Un curso de análisis funcional, por Conway
Fundamentos del análisis complejo para matemáticas, ciencias e ingeniería por Snider y Saff
La teoría de los grupos, por Rotman
¿Topología algebraica, por ??? (No puedo recordar ahora)
Una introducción matemática a la lógica, por Enderton
Álgebra (volúmenes 1 y 2), de van der Waerden
Un primer curso de álgebra abstracta, por John Fraleigh
Hiperespacios: fundamentos y avances recientes, por Illanes y Nadler

Vaya a la biblioteca de su universidad y lea los artículos publicados recientemente en muchas áreas diferentes y lea las revisiones de matemáticas, publicadas por la AMS (American Mathematical Society).

En muchos casos, puede hacer sustituciones, pero estas parecían bien escritas y agradables.

Otros temas que vale la pena conocer incluyen la teoría de números, los sistemas dinámicos, el caos (especialmente el trabajo de Robert DeVanney y William Ingram y muchos otros), la teoría de los nudos (Kauffman), los fundamentos de las matemáticas (Friedman y Simpson), etc., etc.

Aquí hay algunas sugerencias:

1. Godel, Escher, Bach .
2. La disculpa de un matemático por GH Hardy
3. Cualquiera y / o todas las colecciones de Martin Gardner de columnas de recreaciones matemáticas. Sugiero comenzar con los primeros, por ejemplo, Hexaflexágonos y otras diversiones, porque las primeras columnas contienen descripciones de cosas que se han convertido en parte de la cultura general de las matemáticas, la vida de Conway, etc.
4. El reinicio moderno de Flatland y Dewdney The Planiverse .
5. Polyominoes de S. Golomb

Realmente me gusta Euler: The Master of Us All ( http://www.amazon.co.uk/Euler-Ma … )

Le lleva a través de aproximadamente 8 pruebas en una amplia variedad de temas matemáticos. Los capítulos son cortos, pero incluyen una narración de la vida de Euler y los intereses en desarrollo a medida que se presenta cada prueba.

Euler estaba operando en un momento en el crecimiento de las matemáticas cuando él, como un hombre muy capaz, fue capaz de dominar casi todas las ramas del tema.

Además de todos los libros ya mencionados, incluiría Pruebas del libro de Martin Aigner y Günter M. Ziegler. El libro está inspirado y dedicado al gran matemático Paul Erdös, quien propuso la idea original del libro: una colección de las pruebas más interesantes, intuitivas y perspicaces de diversas áreas de las matemáticas.

La mayoría de las pruebas en el libro requieren solo una exposición básica a las matemáticas de nivel universitario y presentan algunas de las pruebas y técnicas más desafiantes e interesantes en la historia de las matemáticas, desde áreas que incluyen geometría, teoría de números, análisis, combinatoria y teoría de gráficos.

Aunque me llevó un tiempo decente revisar todo el libro, intentar algunas pruebas por mi cuenta (¡sin éxito la mayoría de las veces!) Sin duda fue un ejercicio esclarecedor y atractivo.

Pruebas del libro | Martin Aigner | Saltador

La disculpa de un matemático de GH Hardy siempre es buena, como lo es cualquier cosa de Ian Stewart.

En la veta matemática menos popular y más adecuada, Una Introducción al Razonamiento Matemático de Peter Eccles es una gran lectura para aquellos que vienen a las matemáticas de nivel universitario, y no lo digo solo porque él me enseñó.

The Man Who Loved Only Numbers, de Paul Hoffman, es una biografía de Paul Erdős que es ligera en contenido matemático pero fue uno de los libros que me inspiró.

Aparentemente estoy solo al no pensar mucho en Gödel, Escher, Bach , comencé a leerlo hace años, pero nunca me interesó.

Dependiendo del nivel de este aspirante, uno podría intentar:

Una transición a las matemáticas avanzadas Por Douglas Smith, Maurice Eggen y Richard St. Andre

Para estar a la moda, también pego la foto de portada.

yo recomendaria

The Princeton Companion to Mathematics ( http://www.amazon.com/Princeton- …)

El libro es excelente para catalogar las diferentes áreas de las matemáticas, la biografía de algunos de los matemáticos más influyentes y la historia matemática. Los temas están escritos por expertos en el campo (incluso medallistas de campo), y tratan de darle más información sobre las motivaciones detrás de ciertas ideas matemáticas, que pueden perderse si solo se enfoca en el rigor. También puede tener una idea del sabor de trabajar en ciertos campos matemáticos al leer este libro.

Francamente, no tengo idea de qué matemáticas debe leer un estudiante universitario. PERO es la última vez que tienes la oportunidad de rastrillar todo el campo. En la teoría de números, por ejemplo, el campo se ha vuelto tan vasto y dividido que las personas ni siquiera hablan entre sí ni leen documentos: cada pequeño grupo en su pequeño rincón. Es lo que llamamos progreso. Por lo tanto, le recomendaría que lea libros como estos, fáciles como una novela (es lo que leo por pura relajación, no soy matemático)

El hombre de los números (Fibonacci) K Devlin

La conjetura de Poicaré D O’Shea

Fermat último teorema A Aczel

La hipótesis de Riemann K Sabbagh

El advenimiento del algoritmo, Berlinski

Biografías de matemáticos en movimiento como Pais y Kramers.

Después de la respuesta de Kevin Lins sobre la práctica de las matemáticas en lugar de leerla, lo cual es un consejo valioso, recomendaría la colección de libros Teach Yourself para una gama de áreas fundamentales como Trig, Calculus, Statistics y Algebra para principiantes.

Los libros están repletos de ejercicios que se extienden meticulosamente a través de una introducción concisa pero detallada a las ideas matemáticas básicas, escritas por el examinador jefe y el matemático experimentado Hugh Neill, quien adaptó versiones más recientes de los artículos anteriores que al principio fueron hechos por expertos en cada campo, lo cual es muy útil para cualquier nivel.

Si está buscando entretenimiento además de la iluminación matemática, le sugiero dos libros: Euclid’s Window de Leonard Mlodinow y Zero: Biograph of a Dangerous Idea de Charles Seife. Ambos tratan sobre la historia matemática (antigua) y ambos están escritos en un estilo muy accesible. Disfruté muchísimo cada uno.

http://www.amazon.com/Letters-Yo …

La ventana de Euclides: La historia de la geometría de líneas paralelas al hiperespacio (Penguin Press Science) por Leonard Mlodinow (27 de febrero de 2003)

La prueba detrás del desarrollo de las matemáticas junto con algunas cosas sexuales entretenidas sobre grandes matemáticos. Divertidísimo. Lo que no se puede decir sobre muchos libros que cubren Geometría no euclidiana.