¿Qué es [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas]?

Lo creas o no, depende de los dominios de “1” y “[math] \ infty [/ math]”. Comienza asumiendo que el poder es un número natural. En un dominio discreto (1 como un número natural, 1 como matriz de unidad, lo que sea) generalmente tiene sentido * decidir * que debido a que 1 para cualquier potencia de número natural es 1, podemos definir [matemática] 1 ^ {\ infty} [/ matemática] como 1 sin tener problemas En general, donde hay inversos multiplicativos distintos de [matemática] 1 ^ {- 1} = 1 [/ matemática], los números naturales pueden reemplazarse por los enteros (de lo contrario, es un poco inútil).

En general, no puede hacer esto por poderes sobre un dominio no discreto. Es fácil olvidar esto, porque el caso inusualmente especial de los reales no negativos es (a veces) una excepción. Por supuesto, puede que no haya una noción utilizable de un poder no integral, o incluso de cualquier poder negativo.

Del mismo modo para versiones no discretas de [math] 1 [/ math]. Nuevamente, 1 como número real positivo es una excepción importante.

Todo esto se reduce a diferentes definiciones de cómo son los vecindarios de 1 y cómo son los vecindarios de [math] \ infty [/ math]; es decir, la topología de los dominios (a menudo implica una opción de compactación para decidir qué significa [math] \ infty [/ math]). Una talla no sirve para todos.

¡Si me preguntas, no estaría de acuerdo con la gente que dice que esta es una forma indeterminada o un número indefinido!

¿Qué es 1 ^ infinito?
Cuando tienes algo como “infinito”, debes darte cuenta de que no es un número. Por lo general, lo que quieres decir es una especie de proceso limitante. Entonces, si tiene “1 ^ infinito”, lo que realmente tiene es algún tipo de límite: la base no es realmente 1, sino que se acerca cada vez más a 1, mientras que el exponente se hace cada vez más grande, como tal vez (x + 1) ^ (1 / x) como x-> 0+. La pregunta es, ¿qué sucede más rápido, la base se acerca a 1 o el exponente se hace grande? Para averiguarlo, llamemos a: L = lim x-> 0 de (x + 1) ^ (1 / x) Entonces:
ln L = lim x-> 0 de (1 / x) ln (x + 1) = lim x-> 0 de ln (x + 1) / x

Entonces, ¿qué es eso? Como x-> 0 tiene forma 0/0, tome la derivada de
arriba y abajo. Entonces obtenemos lim x-> 0 de 1 / (x + 1) / 1, que = 1.
Entonces ln L = 1, y L = e. ¡Frio!
¿Es realmente cierto? Intenta enchufar un gran valor de x. O reconocer esto
límite como una variación de la definición de e. De cualquier manera, es verdad. los
el límite es de la forma 1 ^ infinito, pero en este caso es e, no 1. Intenta
repetir el trabajo con (2 / x) en el exponente, o con (1 / x ^ 2), o con
1 / (sqrt (x)), y vea cómo eso cambia la respuesta.
Por eso lo llamamos indeterminado: todas esas versiones diferentes de
el límite se aproxima a 1 ^ infinito, pero la respuesta final podría ser cualquier
número, como 1, o infinito, o indefinido. Necesitas hacer más trabajo
para determinar la respuesta, entonces 1 ^ infinito por sí mismo aún no está determinado.
En otras palabras, 1 es solo una de las respuestas de 1 ^ infinito.

¡Espero que eso ayude a aclarar las cosas!

Es indeterminado.

Es importante tratar de traducir mentalmente alguna expresión que contenga infinito a una que tenga que ver con límites para tratar de darle sentido. Supongamos que [math] y = 1 ^ {\ infty} [/ math]. Esto debería ser equivalente a [matemáticas] y = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} (1 + x) ^ {1 / x} [/ matemáticas]. Entonces [math] \ ln y = \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ frac {1} {x} \ ln (1 + x) [/ math]. Por sustitución obtenemos [matemática] 0/0 [/ matemática], así que tome las derivadas del numerador y el denominador por la regla de L’Hopital e intente el límite nuevamente. Obtenemos [math] \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ frac {1} {x + 1} = 1 [/ math], entonces [math] y = e [/ math].

Pero supongamos que nuestro límite es algo así como [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ +} (1 + x) ^ {2 / x} [/ matemáticas]. Sigue siendo una “equivalencia” válida para [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas], pero produciría una respuesta completamente diferente. Simplemente, como no podemos obtener una respuesta directa de un límite sensible, decimos que es indeterminado.

1 [matemáticas] ^ ∞ [/ matemáticas] es una forma indeterminada.

Por lo tanto, sea [matemática] y = 1 ^ ∞ [/ matemática]

tomando [math] log [/ math] ambos lados, obtenemos,

[matemáticas] log (y) = (∞) log (1) [/ matemáticas]

que es igual a [matemática] (∞) * (0) [[/ matemática] como [matemática] log (1) = 0] [/ matemática]

Y por lo tanto, ∞ * 0 es una forma indeterminada.

Prueba por inducción:

Hipótesis: 1 ^ n = 1.

Para n = 1, 1 ^ 1 = 1.

Suponiendo que la hipótesis es verdadera para n = m.

1 ^ m = 1. ——[yo]

Ahora muestra que la hipótesis es verdadera para n = m + 1.

Para demostrar que 1 ^ (m + 1) = 1.

LHS = 1 ^ (m + 1) = 1.1 ^ m

Sustituyendo desde [i]

LHS = 1.1 = 1 = RHS

Al tomar el límite n-> infinito en ambos lados, obtenemos nuestro resultado.

Por lo tanto demostrado.

Es una forma indeterminada, por lo que para resolver esto debe usar límites.
En general, para resolver estas preguntas, puede aplicar las fórmulas que figuran a continuación.

No dude en preguntar sus dudas.

Algunas personas han respondido que no está definido y algunas tienen 1. La respuesta correcta de mi parte es 1 en realidad. La razón, para responder cualquier cosa relacionada con el infinito, tenemos que entender primero que el infinito no es un número sino un concepto y necesitamos entender ese concepto.

Siempre que hablamos de que una variable es infinita en cualquier contexto, lo que realmente significa es a dónde conduce el contexto cuando esa variable crece sin límites.

Por ejemplo, si decimos que 1 dividido entre infinito es cero, el contexto aquí es 1 / xy la variable es x, y lo que significa es que cuando x crece sin límites, el valor de 1 / x se aproxima a cero, que es mayor el valor de x , más cerca es 1 / x a cero.

Ahora una pregunta, ¿cómo se dice que 1 / x se acerca a cero y no cualquier otro valor, o en general, un contexto se acerca a cualquier valor?

Entonces, la respuesta a eso es para algún valor de la variable, si el valor del contexto no puede trascender un valor c pero puede ser igual a c o alcanzar cualquier valor lo más cercano posible a c, entonces c se convierte en el límite o el enfoque valor.

Por lo tanto, en el ejemplo anterior, 1 / x puede alcanzar cualquier valor mayor que cero (en el lado positivo de x), sin importar cuán cerca de cero para alguna x, pero no puede tocar cero a medida que x crece sin límites. Entonces el límite es 0.

Para el problema en cuestión, el contexto es 1 ^ xy para cualquier x que sea grande, el valor es 1. Entonces, cuando x crece sin límites, 1 ^ x sigue siendo 1.

Este 1 ^ [matemáticas] infinito [/ matemáticas] = 1

Es una forma indefinida.

Una manera fácil de ver esto es tomando el logaritmo de la misma, que da [math] \ infinity \ cdot 0 [/ math], que es otra forma indefinida (que es lo mismo que [math] \ frac {0} {0 }[/matemáticas]).

La mejor manera de lidiar con los límites de esta forma es tomar el logaritmo, usar la regla de l’Hopital y, si esto da un número real como límite, tomar la función exponencial del mismo.

1 ^ 2 = 1 x 1 = 1

1 ^ 3 = 1 x 1 x 1 = 1

1 ^ 4 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1

similar

1 ^ Infinito = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 …… = 1

Tan sencillo como eso…

Cualquier cosa elevada a 1 es 1

1