¿Qué significan las “raíces enésimas de la unidad” y las “raíces enésimas primitivas de la unidad”?

Las raíces de la unidad de orden [matemáticas] n [/ matemáticas] son esos números que, cuando los elevas al poder [matemáticas] n [/ matemáticas], obtienes [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (“unidad” ) También se les llama “[matemáticas] n [/ matemáticas] raíces de la unidad”. Hay exactamente [math] n [/ math] tales números, uno de los cuales es siempre el número [math] 1 [/ math] en sí.

Cuando [math] n = 2 [/ math] son [math] 1 [/ math] y [math] -1 [/ math].

Cuando [math] n = 3 [/ math] son [math] 1, e ^ {2 \ pi i / 3} [/ math] y [math] e ^ {4 \ pi i / 3} [/ math] .

Cuando [math] n = 4 [/ math] son [math] 1, i, -1 [/ math] y [math] -i [/ math].

En general, están dispuestos a lo largo del círculo de radio [matemática] 1 [/ matemática] en el plano complejo, igualmente espaciados. Aquí están las séptimas raíces de la unidad.

Ahora, considere un número como [math] -1 [/ math]. Es una cuarta raíz de la unidad, porque si la elevas a la cuarta potencia, obtienes [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Pero esto es algo incidental, correcto, porque en realidad es una segunda raíz de la unidad. Ya obtienes [matemática] 1 [/ matemática] si la cuadras, así que el hecho de que sea una cuarta raíz de la unidad, y también una sexta raíz de la unidad, y una octava, etc.… todas estas son realmente consecuencias de la hecho de que es un número cuyo cuadrado es 1.

En una línea similar, considere el número [math] e ^ {6 \ pi i / 5} [/ math].

Es una quinta raíz de la unidad, y por lo tanto, también es una décima raíz de la unidad, y una décimo quinta raíz de la unidad, y una centésima raíz de la unidad. Simplemente porque cada vez que lo eleves a cualquier potencia que sea múltiplo de 5, obtienes 1.

Entonces, decimos que este número es una quinta raíz primitiva de la unidad, pero no es una décima raíz primitiva o una décimo quinta raíz, etc. Las raíces primitivas de orden [matemáticas] n [/ matemáticas] son aquellas [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces de la unidad que aún no son [matemáticas] k [/ matemáticas] raíces de la unidad para algunas [matemáticas] k [/ matemáticas] más pequeñas. El hecho de que sean una raíz de orden [matemáticas] n [/ matemáticas] no es una consecuencia de ser una raíz de algún orden menor. El peor delincuente aquí es, por supuesto, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] en sí: es una raíz de la unidad de cualquier orden [matemáticas] n [/ matemáticas] pero nunca es primitiva, excepto en el caso trivial [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas].

Como ejemplo final, considere los 12 números que son las raíces número 12 de la unidad. Entre ellos están aquellos números que ya son 2da raíz y 3ra raíz y 4ta raíz y 6ta raíz. Los únicos que son primitivos son [math] \ omega = e ^ {2 \ pi i / 12} [/ math] y sus hermanos [math] \ omega ^ 5 [/ math], [math] \ omega ^ 7 [ / math] y [math] \ omega ^ {11} [/ math]. Verá, el número [math] \ omega ^ 2 [/ math] es una raíz 12 de 1 pero también es una raíz 6, porque [math] (\ omega ^ 2) ^ 6 = \ omega ^ {12} = 1 [/matemáticas]. Y [matemática] (\ omega ^ 9) ^ 4 = 1 [/ matemática] implica que [matemática] \ omega ^ 9 [/ matemática] tampoco es primitiva: es una raíz número 12 de 1, claro, pero ya es un 4ta raíz también. Las 12 raíces primitivas de la unidad son [matemáticas] \ omega ^ j [/ matemáticas] para aquellas [matemáticas] j [/ matemáticas] que son relativamente primos a 12: 1, 5, 7 y 11.

(Estas son las 12 raíces de la unidad, con las primitivas marcadas con un círculo).

Esto es cierto en general: para cualquier [matemática] n [/ matemática] puede tomar [matemática] \ omega = e ^ {2 \ pi i / n} [/ matemática] como su raíz primitiva básica, y luego todas las raíces de unidad de orden [matemática] n [/ matemática] son los números [matemática] \ omega ^ j [/ matemática] para [matemática] j = 0,1,2, \ ldots, n-1 [/ matemática], y los primitivos son aquellos para los que [math] j [/ math] no tiene divisor común con [math] n [/ math].

definiciones de palabras, terminología y jergaMatemáticas

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Sabemos por la fórmula de Euler que [matemáticas] e ^ {ix} = cos_x + i \, sin_x [/ matemáticas].

Busquemos [math] x [/ math] para [math] 1 = e ^ {ix} [/ math]:
[matemáticas] 1 = e ^ {ix} = \ cos_x + i \, \ sin_x \ rightarrow \ cos_x = 1, \ sin_x = 0 \ rightarrow x = 2k \ pi, k \ in \ {0,1,2,… \}[/matemáticas]

[matemáticas] \ rightarrow 1 = e ^ {2k \ pi \, i} [/ matemáticas]

Y podemos escribir [matemáticas] \ sqrt [n] {1} = 1 ^ {{1 \ over n}} = (e ^ {2k \ pi \, i}) ^ {1 \ over n} = e ^ { i {2k \ pi \ over n}}, k \ in \ {0,1, …, n-1 \} [/ math].

Por ejemplo:
[matemáticas] \ sqrt [1] {1} = e ^ 0 = 1 \\ \ sqrt [2] {1} = \ begin {cases} & k = 0 \ rightarrow \ sqrt [2] {1} = e ^ 0 = 1 \\ & k = 1 \ rightarrow \ sqrt [2] {1} = e ^ {i \ pi} = \ cos _ {\ pi} + i \, \ sin _ {\ pi} = – 1 \ end { casos} \\ \ sqrt [3] {1} = \ begin {cases} & k = 0 \ rightarrow \ sqrt [3] {1} = e ^ 0 = 1 \\ & k = 1 \ rightarrow \ sqrt [3 ] {1} = e ^ {i {2 \ pi \ over 3}} = \ cos_ {2 \ pi \ over 3} + i \, \ sin_ {2 \ pi \ over 3} = – {1 \ over 2 } + {\ sqrt {3} \ over 2} i \\ & k = 2 \ rightarrow \ sqrt [3] {1} = e ^ {i {4 \ pi \ over 3}} = \ cos_ {4 \ pi \ over 3} + i \, \ sin_ {4 \ pi \ over 3} = – {1 \ over 2} – {\ sqrt {3} \ over 2} i \ end {cases} \\ \ sqrt [4] {1} = \ begin {cases} & k = 0 \ rightarrow \ sqrt [4] {1} = e ^ 0 = 1 \\ & k = 1 \ rightarrow \ sqrt [4] {1} = e ^ {i {\ pi \ over 2}} = \ cos _ {\ pi \ over 2} + i \, \ sin _ {\ pi \ over 2} = i \\ & k = 2 \ rightarrow \ sqrt [4] {1} = e ^ {i {\ pi}} = \ cos _ {\ pi} + i \, \ sin _ {\ pi} = – 1 \\ & k = 3 \ rightarrow \ sqrt [4] {1} = e ^ {i {3 \ pi \ over 2}} = \ cos_ {3 \ pi \ over 2} + i \ sin_ {3 \ pi \ over 2} = – i \ end {cases} [/ math]

Michael Jørgensen

Bueno, las raíces de la unidad [matemáticas] n [/ matemáticas] son exactamente lo que su nombre sugiere: las posibles soluciones a la ecuación [matemáticas] x ^ n = 1 [/ matemáticas]
que son dados por [math] e ^ {2 \ pi ki / n} [/ math] para [math] 1 \ leq k \ leq n [/ math].

Las raíces primitivas de la unidad son solo aquellas para las cuales la fracción [matemática] k / n [/ matemática] es irreducible; es decir, no es una raíz de la unidad para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas] más pequeñas.

SINGH SUMO

La función cisc (x) es la función circular cos + i.sin. Cisc (x) equivale a cos (2p x) + i sin (2p x), donde p es pi. Entonces el círculo unitario está marcado en unidades del 0 al 1.

Las enésimas raíces de la unidad son entonces cisc (a / n), donde 0 <= a

Las raíces enésimas primitivas son aquellas donde gcd (a, n) = 1, por lo que necesita un múltiplo de n para obtener un número entero.

Ejemplo. 0/12. 1/12, 2/12, …, 11/12 son duodécimas raíces de la unidad, ya que 12 veces estos números dan un número entero 0, 1, 2, …, 11 veces alrededor del círculo. Vemos que 1/8 no es una duodécima raíz ya que 12/8 es 1 1/2, aterriza en -1.

Algunas de estas fracciones se reducen, por lo que hay múltiplos más pequeños que conducen a números enteros, por ejemplo, 2/12 * 6, 3/12 * 4, 4/12 * 3, etc. Esto significa que si bien la potencia 12 es 1, es no es la primera potencia (Prime) igual a 1.

Las primitivas son entonces aquellas fracciones que hacen su primera llamada a 1 en la 12ª potencia: 1/12, 5/12, 7/12, 11/12.

Richard Malcolm Smythe

Solo para agregar a lo que otros han dicho; Curiosamente, estas raíces primitivas de la unidad están dispuestas alrededor del círculo con simetría rotacional y TAMBIÉN con simetría de espejo sobre el eje horizontal: vienen en números complejos y pares de conjugados complejos. Por supuesto, 1 es su propio conjugado complejo; como es cualquier otro número complejo en el eje horizontal; -1.

Alon Amit

aquí en el término enésimas raíces de la unidad se entiende el grupo de las enésimas raíces de la unidad de un grupo cíclico. Vale la pena señalar que el término grupo cíclico originado en este grupo es un subgrupo del grupo circular.