Mira, Daniels.
Primero, lo encontrará en cualquier libro sobre álgebra conmutativa, generalmente como corolario de una declaración más general que describe lo que sucede con los ideales del anillo bajo localización.
En segundo lugar, debe tener más cuidado con la declaración.
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Usted escribió: [matemáticas] \ lambda_S: R \ a R_S, \ a \ mapsto a / s. [/matemáticas]
No puedo entenderlo porque
- ¿Qué es [math] s? [/ Math] ¿Hay alguna [math] s \ distinguida en S? [/ Math]
- ¿Cómo puede ser el ringmorfismo? Un mapa de ringmorfismo (distinto de cero) [matemática] 1 \ en R [/ matemática] a [matemática] 1 \ en R_S. [/ Matemática] Es [matemática] \ dfrac {1} {s} [/ matemática] la unidad en [ matemáticas] R_S? [/ matemáticas] Por supuesto que no.
Por lo tanto, primero necesitamos una declaración correcta. De hecho, el mapa [math] \ lambda_S: R \ to R_S [/ math] viene dado por [math] a \ mapsto \ dfrac {a} {1}. [/matemáticas]
Tenemos dos conjuntos:
[matemática] P = \ text {Spec} (R_S) [/ math] y [math] Q = \ {\ pi \ in [/ math] [math] \ text {Spec} (R): \ pi \ cap S = \ varnothing [/ math] [math] \}. [/matemáticas]
Necesitamos construir una biyección [math] \ phi: P \ to Q [/ math] de alguna manera relacionada con [math] \ lambda_S. [/ Math]
Hay un hecho estándar de que cualquier ringmorfismo induce el mapa entre los espectros primarios en la dirección inversa dada por la imagen inversa de los ideales primos.
Así tenemos el mapa [math] \ phi: P [/ math] [math] \ to [/ math] [math] \ text {Spec} (R) [/ math] dado por [math] p \ mapsto [/ matemáticas] [matemáticas] \ lambda_S ^ {- 1} (p). [/ matemáticas]
Primero muestre que [math] \ phi [/ math] envía todos los ideales primarios de [math] P = \ text {Spec} (R_S) [/ math] a [math] Q [/ math].
Proposición 1 . La imagen de [math] \ phi [/ math] se encuentra dentro de [math] Q [/ math].
Prueba. Sea [math] p [/ math] un ideal ideal en [math] R_S. [/ Math] Sus elementos son fracciones de la forma [math] \ dfrac {a} {s} [/ math] para algunos [math] a \ en R, s \ en S. [/ matemáticas]
Ahora, según la definición [math] \ phi (p) = \ {a \ in R: \ dfrac {a} {1} \ in p \}. [/ Math]
Supongamos ahora que [math] s \ in \ phi (p) [/ math] para algunos [math] s \ in S [/ math]. Implicaría que [math] \ dfrac {s} {1} \ en p. [/ Math] Pero [math] \ dfrac {s} {1} [/ math] es una unidad en [math] p [/ math ] (su inverso es [math] \ dfrac {1} {s} [/ math]). Por lo tanto, [math] 1 \ en R_S [/ math] y [math] p = R_S. [/ Math] Tenemos una contradicción con [math] p [/ math] es un ideal primordial. Por lo tanto, todos los ideales primarios en la imagen de [math] \ phi [/ math] son disjuntos con [math] S. \; \ Blacksquare [/ math]
Por lo tanto, podemos suponer [math] \ phi: P \ to Q. [/ math]
Ahora queremos mostrar que [math] \ phi: P \ to Q [/ math] es biyectivo.
Una forma estándar de hacerlo es construir el mapa inverso [math] \ psi: Q \ to P. [/ Math]
De hecho, siempre podemos asignar cualquier ideal [matemática] q \ en Q [/ matemática] el ideal [matemática] \ lambda_S (q) R_S, [/ matemática] es decir, el ideal más pequeño generado por las imágenes de elementos de [matemática] q [/ math] bajo [math] \ lambda_S. [/ math] Desafortunadamente, esta construcción no produce un ideal principal en general. Pero en nuestro caso simple, esta definición implica [matemáticas] p ‘: = \ lambda_S (q) R_S = \ left \ {\ dfrac {a} {s}: a \ in q, s \ in S \ right \} [/ matemáticas] y
Proposición 2. [matemática] p ‘[/ matemática] es un ideal principal en [matemática] R_S [/ matemática].
P techo. Deje que [math] f = \ dfrac {a} {s} \ dfrac {a ‘} {s’} \ in p ‘[/ math] para algunos [math] a, a’ \ in R, s, s ‘\ en S. [/ math] Entonces [math] f [/ math] es igual a una fracción [math] \ dfrac {b} {t} \ en p ‘, b \ in q, t \ in S [/ math] . Pero la definición de la localización significa que hay [matemática] u \ en S [/ matemática] tal que [matemática] (aa ‘t – b ss’) u = 0. [/ Matemática] Por lo tanto [matemática] aa ‘ tu \ in q [/ math]. Ahora como [math] tu \ in S [/ math], [math] S \ cap q = \ varnothing [/ math] y [math] q [/ math] es primo, se deduce que [math] aa ‘\ in q [/ math] y, por lo tanto, [math] a \ in q [/ math] o [math] a ‘\ in q. [/ math] En consecuencia, [math] \ dfrac {a} {s} [/ math] o [ math] \ dfrac {a ‘} {s’} [/ math] se encuentra en [math] p ‘, [/ math] y, por lo tanto, [math] p’ [/ math] es un ideal ideal en [math] R_S. \ ; \ blacksquare [/ math]
Así [math] \ psi: Q \ to P, \, q \ mapsto [/ math] [math] \ lambda_S (q) R_S [/ math] toma los ideales primarios de [math] R [/ math] disjuntos con [math ] S [/ math] a los ideales primarios de [math] R_S, [/ math] por lo que este mapa está bien definido.
Finalmente, debemos mostrar que [math] \ phi [/ math] y [math] \ psi [/ math] son inversas entre sí, es decir, [math] \ psi \ circ \ phi = \ mathrm {id} _P [ / math] y [math] \ phi \ circ \ psi = \ mathrm {id} _Q. [/ math]
El primero [math] \ psi \ circ \ phi = \ mathrm {id} _P [/ math] se sigue trivialmente de las definiciones (¡verifique esto!).
Para el segundo tenemos trivialmente [math] q ‘: = \ phi \ circ \ psi (q) \ supset q [/ math] para cualquier ideal [math] q \ in Q. [/ Math]
Suponga que hay [matemáticas] a \ en q ‘[/ matemáticas]. De las definiciones se deduce que [matemáticas] \ dfrac {a} {1} = \ dfrac {b} {s} [/ matemáticas] en [matemáticas] R_S [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] b \ en q, s \ en S. [/ math]
Por lo tanto, hay [matemática] u \ en S [/ matemática] tal que [matemática] [/ matemática] [matemática] u (as-b) = 0 [/ matemática]. Entonces [math] (us) a \ in q. [/ Math] Pero como [math] S \ cap q = \ varnothing [/ math] y [math] q [/ math] es primo, se deduce que [math] a \ en q [/ matemáticas].
Por lo tanto, también sostiene que [math] q \ supset q ‘[/ math] y por lo tanto [math] q’ = q. [/ Math]
Esto demuestra que [math] \ phi [/ math] y [math] \ psi [/ math] son inversas entre sí y, por lo tanto, establece la biyección deseada.
Como puede ver, no hay nada particularmente difícil en este problema, todas las conclusiones se siguen casi rutinariamente de las definiciones.
Espero que haya sido útil. Puedo elaborar algunos argumentos si queda algo poco claro.
