¿Cómo se factorizan los polinomios?

Realmente depende del caso. Por lo general, los problemas dados como tareas o exámenes tienen pocas raíces simples como 0, 1, -1, … básicamente raíces que son muy fáciles de encontrar adivinando. Una vez que haya encontrado esas raíces, llamémoslas x1, …, xn puede dividir su polinomio con binomios (x-x1), (x-x2), …, (x-xn) y simplificar el problema, generalmente obteniendo algo que se puede resolver analíticamente.
Sin embargo, en general, la mejor manera de resolver estas cosas (cuando son parte de un problema mayor) es usar un software como Wolfram Alpha o similar.

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30x ^ 2 * y-87xy + 30y = y * (30x ^ 2-87x + 30).
30x ^ 2-87x + 30 = 0 soluciones son 2/5 y 5/2 => 30x ^ 2-87x + 30 = (x-5/2) (x-2/5)
entonces 30x ^ 2y-87xy + 30y = y (x-2/5) (x-5/2);

9x ^ 2-5x-10 = 0 soluciones son (5-sqrt (385)) / 18 y (5 + sqrt (385)) / 18
por lo tanto 9x ^ 2-5x-10 = (x- (5-sqrt (385)) / 18) (x- (5 + sqrt (385)) / 18);

x ^ 6-4x ^ 2 = x ^ 2 (x ^ 4-4)
x ^ 4-4 = (x ^ 2 + 2) (x ^ 2-2) // a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab)
Cuando se trabaja solo con raíces reales, es habitual dejar x ^ 2 + 2 como está, ya que tiene raíces complejas, pero si lo desea, puede factorizarlo también. Si lo factorizas será:
x ^ 2 + 2 = 0, x ^ 2 = -2, las soluciones son i * sqrt (2) y -i * sqrt (2)
por lo tanto: x ^ 2 + 2 = (xi * sqrt (2)) (x + i * sqrt (2))
x ^ 2-2 = 0 tiene soluciones sqrt (2) y -sqrt (2) por lo tanto:
x ^ 2-2 = (x-sqrt (2)) (x + sqrt (2)) // tenga en cuenta que esto es lo que obtendría si utilizara una fórmula ^ 2-b ^ 2 dada anteriormente
Finalmente, obtenemos:
x ^ 6-4x ^ 2 = x ^ 2 (x ^ 2 + 2) (x-sqrt (2)) (x + sqrt (2));

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Algunas conclusiones importantes:

(Si la mayor potencia de la variable en el polinomio es n, diremos que es un polinomio de enésimo grado).

• El polinomio de grado N tiene raíces complejas de N (algunas pueden aparecer más de una vez, como x = 0 en el último ejemplo, que aparece como raíz de segundo grado, y eso se cuenta como dos raíces).
• Para cada raíz compleja hay un par conjugado, por lo que si tiene una raíz que es a + b * i, también tendrá ab * i como raíz. (Esto puede ser útil cuando hay raíces complejas simples como i, entonces ya conoce la otra y puede dividir el polinomio con (xi) (x + i) = (x ^ 2 + 1).
• Si x1 es una raíz del polinomio P (lo que significa que cuando pones P = 0, x1 será la solución), entonces el polinomio P es divisible por (x-x1). (Esto es lo que hice en todos los ejemplos).

Supongo que el problema es factorizar polinomios con coeficientes enteros sobre los enteros (o, equivalentemente, sobre los racionales). No puedo recordar todos los detalles, ya que han pasado 10-15 años desde que enseñé esto, pero hay formas de factorizar polinomios generales (una variable).

Empiezas usando el algoritmo de Berlekamp (o el más reciente Cantor-Zassenhaus ) para factorizar el polinomio sobre algún primo adecuado (o tal vez varios similares, este es uno de los bits que olvido). Si el polinomio no factoriza sobre un primo (cualquier primo), entonces es irreducible sobre los enteros. Esto es fácil de ver, ya que las factorizaciones deben descender (solo tome el módulo de factorización como primo). Sin embargo, las factorizaciones no ascienden : hay polinomios que factorizan sobre cada primo pero que, sin embargo, son irreductibles sobre los enteros. Hay un ejemplo simple, pero se me olvida lo que es ([matemática] x ^ 4 + 1 [/ matemática] tal vez).

Una vez que tenga el módulo factorizado polinomial algunos primos [matemática] p [/ matemática], utilice una técnica llamada elevación de Hensel para elevar la factorización a uno sobre [matemática] p ^ 2 [/ matemática], y luego a poderes superiores y superiores de [matemáticas] p [/ matemáticas]. Hay resultados conocidos sobre cuán grandes pueden ser los coeficientes de los factores de un polinomio (nuevamente, olvido los detalles), y una vez que tiene un poder de [matemáticas] p [/ matemáticas] mayor que este máximo, tiene encontró la factorización sobre los enteros o demostró que el polinomio es irreducible.

En el fondo de mi mente hay una duda persistente de que este método no está garantizado para funcionar, pero estoy seguro de que es una técnica solo adecuada para una computadora.

No existe una técnica general para factorizar polinomios, incluso en una sola variable, y cuando se llega a múltiples variables, las cosas empeoran mucho. Entonces, cuando pregunte cómo factorizar un polinomio específico, bueno, solo tiene que mirarlo, esperar que se dé cuenta de alguna característica que le permita detectar un factor e ir desde allí. En este caso, podría tener suerte y reconocer que podría sacar una x de la mitad de los términos y ay de la otra mitad y obtener el mismo resultado cada vez, lo que le muestra que tiene un factor de (yx). Pero no hay mucho más que pueda hacer (al menos sin aprender un algoritmo destinado a ser aplicado por una computadora).

Existen varias técnicas:

1. para encontrar artículos comunes. [matemáticas] 3x ^ 3 + 4x ^ 2 = x ^ 2 (3x + 4) [/ matemáticas]
2. para usar la fórmula: [matemáticas] x ^ 2-4 = x ^ 2-2 ^ 2 = (x-2) (x + 2); x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2-3x + 3 ^ 2) [/ matemáticas]
3. para agregar / menos algún elemento: [matemáticas] x ^ 4 + 4 = (x ^ 4 + 4x ^ 2 + 4) -4x ^ 2 = (x ^ 2 + 2) ^ 2- (2x) ^ 2 = (x ^ 2 + 2 + 2x) (x ^ 2 + 2-2x) [/ matemáticas]
4. para encontrar raíces: [matemáticas] x ^ 2-4x + 1 [/ matemáticas], las raíces deben ser [matemáticas] x = 2 \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas], entonces, [matemáticas] x ^ 2- 4x + 1 = (x-2- \ sqrt {3}) (x-2 + \ sqrt {3}) [/ matemáticas]
5. intentar: [matemáticas] x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 2 [/ matemáticas], de alguna manera es difícil encontrar raíces, sin embargo, [matemáticas] 1 + 4 = 3 + 2 [/ matemáticas], podemos intentar [matemática] x = -1 [/ matemática] y encontrará [matemática] x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 2 = (x + 1) (x ^ 2 + 2x + 2). [/ matemática]

Puedes encontrar otras formas. haga más ejercicios y resuma, tendrá confianza.

Considere la ecuación como Q (x, y, z)

El valor de Q (x, x, z) = 0 (quiero decir si sustituyes x en lugar de y)
de manera similar, podemos probar Q (x, y, x) = 0 y Q (x, y, y) = 0

como es una ecuación cúbica y sabemos que (xy), (yz) y (zx) son tres factores

Q (x, y, z) = k (xy) (yz) (zx) donde k es un número fijo
tomando x = 1, y = 2 & z = 3 podemos probar k = 1.

aquí está

Teorema del factor, división larga

Último recurso: calculadora (si involucra decimales como las raíces)

No existe una solución única para todos. La clave es solo buscar factores comunes y trabajar desde allí.