Esta es una pregunta muy, muy, muy, muy, muy, muy, muy, muy, muy difícil. Vamos a resolverlo, porque porque no. Primero, hagamos un ligero cambio en la integral en cuestión;
Esto será inmensamente útil para nosotros en el futuro. Ahora, integremos por partes. Para eso, elegiré las siguientes sustituciones;
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Ahora, apliquemos la fórmula, ¿de acuerdo?
La cuestión es que podemos simplificar la integral utilizando una identidad simple. Se simplifica a la siguiente respuesta;
Ahora, podemos seguir escribiendo estas integrales en términos de I y volver a ponerlas en la ecuación anterior. Por lo tanto, la ecuación final que debemos obtener es;
Ahora, estamos más cerca de nuestra respuesta. De hecho, podemos simplificar aún más esto de la siguiente manera;
Más bien deprimente que esto no se parece a la respuesta que deseabas, ¿verdad? Pero mira!
Por lo tanto;
Ahora, si hacemos I (a) el sujeto;
Por lo tanto, hemos demostrado lo que queríamos demostrar.
Ahora, podrías pensar que lo que hice fue ilegal. Pero recuerde, la relación que derivamos entre I (n + 2) e I (n) es aplicable, realmente, para n> 2. Eso significa que es válido para a> 4. Mientras tengamos cuidado con esa restricción en particular, estamos bien.
Además, de lo que nos dimos cuenta al encontrar la relación entre I (n + 2) y I (n) fue que si queríamos encontrar la relación entre I (n) y I (n-2), entonces tendríamos que integrar I (n-2) en su lugar. Para convencerte de esto, hagámoslo también. Ahora, como hemos realizado el procedimiento anterior, lo presentaré aquí sin explicación. Tendrá que resolver los detalles por su cuenta;
Entonces, ¿por qué no comencé con este enfoque? La cuestión es que hay dos cosas a tener en cuenta;
- No sabía que la integral que estaba resolviendo conduciría a ese tipo de comprensión.
- Este sería un movimiento bastante engañoso. ¿Cómo sabrías de antemano que se suponía que ibas a integrar I (n-2)? ¿Intuición? Eso es una porquería, porque realmente no puedes decir que intuitivamente decidiste no integrar I (n) e integrar I (n-2) en su lugar.
- La prueba inicial que di es más legítima, en realidad. Si bien introduce otra variable a , pone lo que obtuvimos en la forma que queremos. Lo pone en forma de reducción. Por lo tanto, es mejor.
Agradezco todas las críticas 🙂
