Muchas maneras Aquí hay uno que me gusta especialmente:
Un lugar para buscar secuencias combinatoriamente interesantes en topología es en secuencias de números Betti unidos a espacios. En términos muy generales, el número kth Betti [math] b_k [/ math] de un espacio “cuenta el número de agujeros k-dimensionales” en el espacio, pero este eslogan no debe tomarse demasiado en serio. Si [math] X [/ math] es un espacio, sus números Betti se pueden organizar en una función generadora
[matemáticas] P_X (t) = b_0 + b_1 t + b_2 t ^ 2 +… [/ matemáticas]
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(muy parecido a las funciones generadoras que se producen en la combinatoria) llamada la serie de Poincaré de [math] X [/ math]. Una de las razones por las que es bueno hacer esto es que la serie Poincare es aditiva y multiplicativa con respecto a la unión disjunta y el producto cartesiano, respectivamente; es decir, tenemos
[matemáticas] P_ {X \ sqcup Y} = P_X + P_Y, P_ {X \ veces Y} = P_X P_Y. [/ matemáticas]
Ejemplo. El Torus n-dimensional [matemática] T ^ n [/ matemática] tiene la serie de Poincaré
[matemáticas] P_ {T ^ n} (t) = (1 + t) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} t ^ k [/ matemáticas]
entonces sus números de Betti son coeficientes binomiales. Este es un corolario del hecho de que [matemática] P_T (t) = 1 + t [/ matemática] y del hecho que mencioné anteriormente acerca de que la serie de Poincaré es multiplicativa.
Ahora, ¿por qué es interesante realizar una secuencia como una secuencia de números Betti de un espacio? Es porque si sabes cosas interesantes sobre tu espacio, pueden traducirse a cosas interesantes sobre tu secuencia.
Por ejemplo, si su espacio es un tipo de espacio particularmente agradable llamado múltiple orientable cerrado, entonces la dualidad de Poincaré le dice que sus números Betti son simétricos ; es decir, [math] b_k = b_ {nk} [/ math] donde [math] n [/ math] es la dimensión del espacio. En particular, el toro n-dimensional es un espacio de este tipo, por lo que se puede considerar como una explicación topológica de por qué [matemáticas] {n \ choose k} = {n \ choose nk} [/ math].
Para un ejemplo más sofisticado, si su espacio proviene de la geometría algebraica de una manera particular, entonces el duro teorema de Lefschetz (teorema del hiperplano de Lefschetz) le dice que sus números Betti indexados pares e impares son unimodales , lo que significa que las secuencias [matemáticas ] b_0, b_2, … [/ math] y [math] b_1, b_3, … [/ math] primero aumentan y luego disminuyen. La aplicación de este resultado a espacios llamados Grassmannians le dice que una cierta secuencia que cuenta particiones que caben en una caja es unimodal; aparentemente no se conoce una prueba puramente combinatoria de este resultado. Ver Stanley (página en mathunion.org) para más detalles.
Ver también:
- Combinatoria topológica
- Topología combinatoria
