Supongo que por “manipular expresiones de forma independiente”, quiere decir que no debe usar operaciones de ecuaciones al intentar probar una ecuación, como A = B.
Déjame dar un ejemplo. Suponga que desea probar la identidad trigonométrica [matemática] \ sec ^ 2 (x) = \ tan ^ 2 (x) +1 [/ matemática]. Esto es lo que muchos estudiantes intentarán hacer:
Comience con [math] \ sec ^ 2 (x) = \ tan ^ 2 (x) +1 [/ math]. Reescribe en términos de senos y cosenos:
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[matemáticas] \ frac {1} {\ cos ^ 2 (x)} = \ frac {\ sin ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} + 1 [/ matemáticas]
Multiplica ambos lados por [matemáticas] \ cos ^ 2 (x) [/ matemáticas]:
[matemáticas] 1 = \ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) [/ matemáticas]
Y luego, reconociendo la identidad pitagórica, declaran que la prueba está completa.
Pero esto es al revés. Cuando quieres probar algo, comienzas desde algo que sabes que es verdad y llegas a una conclusión que deseas probar. En cambio, esto comenzó asumiendo la conclusión prevista y la usó para probar algo que ya sabíamos. Crucialmente, todavía no sabemos si el antecedente es cierto. Y hay formas de manipular ecuaciones incorrectas para llegar a ecuaciones correctas, por lo que el hecho de que terminamos con una identidad conocida no nos salva.
Afortunadamente, cada paso de esta ‘prueba’ se puede revertir fácilmente, por lo que simplemente leyendo de abajo hacia arriba obtendrá una prueba válida. Si comienza con una ecuación que ya sabe que es válida , puede manipularla como una ecuación. Lo que no puede hacer es comenzar con un signo igual entre dos cosas que aún no sabe que son iguales.
Alternativamente, si no conoce una ecuación para comenzar, puede “manipular expresiones de forma independiente” de esta manera:
[matemáticas] \ tan ^ 2 (x) + 1 = \ frac {\ sin ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {\ sin ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} + \ frac {\ cos ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {\ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {\ cos ^ 2 (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ seg ^ 2 (x) [/ matemáticas]
Entonces, dado que tiene una cadena de igualdades, por la propiedad transitiva [matemática] \ sec ^ 2 (x) = \ tan ^ 2 (x) +1 [/ matemática], que concluye la prueba.
