No usaría la palabra simple, porque podría no ser simple para alguien con cero experiencia en la escritura de pruebas, pero hay una prueba muy común. Dice así:
Teorema: [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] es irracional.
Prueba:
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Suponga, a modo de contradicción, que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional.
Entonces existen enteros [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] tal que [matemática] \ sqrt {2} = \ frac {p} {q} [/ matemática], donde [matemática] p [/ math] y [math] q [/ math] no comparten ningún factor. Sabemos que estos enteros existen porque cualquier racional puede representarse por una relación de enteros que son coprimos (no comparten factores).
Cuadrar ambos lados nos da [matemática] 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} [/ matemática] luego multiplicar por [matemática] q ^ 2 [/ matemática] nos da [matemática] 2q ^ 2 = p ^ 2 [/ matemáticas].
La última ecuación nos muestra que [math] p ^ 2 [/ math] es par y eso también hace que [math] p [/ math] sea un número par. Entonces, existe un número entero [math] k [/ math] tal que [math] p = 2k [/ math]. Si lo sustituimos nuevamente en la última ecuación, obtenemos [matemáticas] 2q ^ 2 = 4k ^ 2 [/ matemáticas] y luego dividimos entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y usted tiene [matemáticas] q ^ 2 = 2k ^ 2 [/ matemáticas].
Ahora hemos demostrado que [math] q ^ 2 [/ math] es par y eso significa que [math] q [/ math] es par. Esto significa que tanto [math] p [/ math] como [math] q [/ math] se pueden dividir entre [math] 2 [/ math], pero esto contradice el hecho de que no comparten un factor.
Esto significa que [math] \ sqrt {2} [/ math] no puede representarse por la relación de enteros. Por lo tanto, nuestra suposición de que es racional es falsa.
QED