La función diverge a [math] \ pm \ infty [/ math] cerca de [math] x = 1, x = 4 [/ math] (asíntotas verticales), por lo que no hay máximos / minutos globales. Para máximos / minutos locales, la derivada de un cociente [matemática] \ frac {f} {g} [/ matemática] es [matemática] \ frac {f’g-fg ‘} {g ^ 2} [/ matemática] e igual cero solo cuando [math] fg ‘= gf’ [/ math] ahora las derivadas por regla de producto dan [math] f ‘= 1 \ cdot (x + 4) + (x + 1) \ cdot 1 = 2x + 5 [/ matemática] y [matemática] g ‘= 2x-5 [/ matemática] de manera similar, entonces [matemática] (x + 1) (x + 4) (2x-5) = 2x ^ 3 + 5x ^ 2–17x-20 = (x-1) (x-4) (2x + 5) = 2x ^ 3–5x ^ 2–17x + 20 [/ matemáticas] y nuestra ecuación se simplifica a [matemáticas] 10x ^ 2 = 40, x = \ pm 2 , f (2) = \ frac {(2 + 1) (2 + 4)} {(2–1) (2–4)} = – 9 [/ matemática] o su recíproco [matemática] f (-2) = \ frac {-1} {9} [/ matemáticas]. La asíntota horizontal es [matemática] y = 1 [/ matemática] como [matemática] x \ a \ pm \ infty [/ matemática]: viniendo de la izquierda, está cerca de uno hasta que cruza cero en territorio negativo en [matemática] x = -4 [/ matemática] al mínimo local en [matemática] (- 2, \ frac {-1} {9}) [/ matemática], de vuelta al territorio positivo en [matemática] x = -1 [/ matemática ], cruzando [matemática] y = 1 [/ matemática] en [matemática] x = 0 [/ matemática] y hasta [matemática] + \ infty [/ matemática] cerca de [matemática] x = 1 [/ matemática], luego subir de [matemáticas] – \ infty [/ matemáticas] en el lado derecho de [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] al máximo local en [matemáticas] (2, -9) [/ matemáticas] y volver a bajar a [ matemática] – \ infty [/ matemática] cerca de [matemática] x = 4 [/ matemática], saltando a [matemática] + \ infty [/ matemática] en el lado derecho de [matemática] x = 4 [/ matemática] y estableciéndose abajo hacia [matemática] y = 1 [/ matemática] nuevamente.
¿Cuál es el máximo y mínimo de f (x) = ((X + 1) (x + 4)) / ((x-1) (x-4))?
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Primero tenemos que encontrar la derivada y equiparar a 0 para encontrar el valor de [math] x [/ math] en los puntos de inflexión.
Con nuestro [math] f (x) = \ dfrac {(x + 1) (x + 4)} {(x-1) (x-4)} [/ math]
nuestra [matemática] f ‘(x) = – \ dfrac {10 (x ^ 2–4)} {(x-4) ^ 2 (x-1) ^ 2} [/ matemática]
Al equiparar nuestra [matemática] f ‘(x) [/ matemática] a 0, obtenemos
[matemáticas] -10 (x ^ 2–4) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ pm 2 [/ matemáticas]
Luego colocamos nuestros valores de x de nuevo en la función para encontrar los puntos de inflexión de la función.
Cuando [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = \ frac {(2 + 1) (2 + 4)} {(2–1) (2–4)} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = -9 [/ matemáticas]
Cuando [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = \ frac {(- 2 + 1) (- 2 + 4)} {(- 2–1) (- 2–4)} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = – \ frac {1} {9} [/ matemáticas]
Puntos de inflexión: [matemáticas] (2, -9), (-2, – \ frac {1} {9}) [/ matemáticas]
Hemos encontrado nuestros puntos de inflexión, pero aún no sabemos cuál es el máximo o el mínimo.
Para encontrarlos, obtenemos la segunda derivada e insertamos los valores de x encontrados. Si [matemática] \ lt [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática], el punto es máximo, mientras que si [matemática] \ gt [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática], el punto es mínimo.
[matemática] f ” (x) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ dfrac {20 (x ^ 3−12x + 20)} {(x − 4) ^ 3 (x − 1 ) ^ 3} [/ matemáticas]
Cuando x = 2,
[matemáticas] f ” (x) = \ frac {20 (2 ^ 3–12 (2) +20)} {(2–4) ^ 3 (2–1) ^ 3} [/ matemáticas]
[matemática] f ” (x) = -10 [/ matemática] que es [matemática] \ lt 0 [/ matemática] Entonces nos da el punto máximo.
Podemos suponer que f (-2) dará un punto mínimo.
Máximo de [matemáticas] f (x) = [/ matemáticas] [matemáticas] -9 [/ matemáticas]
Mínimo de [matemáticas] f (x) = – \ frac {1} {9} [/ matemáticas]
f (x) = (x + 1) (x + 4) / [(x-1) (x-4)]
Entonces, dy / dx = (-10x ^ 2 + 40) / [(x-1) (x-4)] ^ 2
En los puntos críticos, la primera derivada, f ‘(x) = 0
Entonces, -10 x ^ 2 + 40 = 0
Entonces, -10 (x + 2) (x – 2) = 0
Entonces, x = 2 o x = -2
La segunda derivada es, f ” (x) = 20 (x-1) (x-4) (x ^ 3 – 12x + 20) / [(x-1) (x-4)] ^ 4
Como el denominador es una cuarta potencia, es positivo. Por lo tanto, tenemos que verificar solo el numerador para ver si es positivo o negativo.
Numerador de f ” (2) = 20 (2-1) (2-4) (2 ^ 3 – 12 (2) + 20) <0
Numerador de f ” (- 2) = 20- (2-1) (- 2-4) (- 2 ^ 3 – 12 (-2) + 20)> 0
Entonces f (x) tiene un máximo en x = 2 yf (2) = -9
y un mínimo en x = -2 yf (-2) = -2/21.
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