¿Existe una fórmula matemática para describir la tasa de aceleración angular del carrete de suministro en una plataforma de cinta de carrete en avance rápido?

¿Existe tal función? Estoy seguro de que uno lo hace, y espero que personas de IBM y otros fabricantes de lectores / escritores de cinta de carrete a carrete los investigaron en la década de 1960, si no antes.

Deje x (w) representar la longitud de la cinta envuelta alrededor de un cubo exactamente w veces Entonces x es la suma de las circunferencias de w círculos con radios r (i) = 2.5 in * 254 mm / in + i mm = 635 + i mm, donde I = 0, 1,…, w-1:

x (w) = suma (i = 0 .. (w-1): 2 * pi * (635 + i))

= 1270 * pi * w + 2 * pi * suma (i = 0 .. (w-1): i)

= 1270 * pi * w + 2 * pi * w * (w-1) / 2

x (w) = pi * w ^ 2 + 1269 * pi * w

Cada aumento de w en 1 representa un círculo de rotación completo, por lo que la velocidad angular a la que se agrega la cinta al carrete al agregar la envoltura w + 1 es

v (w) = x (w) mm / 2 * pi radianes = 0.5 * w ^ 2 + 634.5 * w mm / radianes.

La tasa de cambio en esta velocidad angular, en función del número de vueltas w, es

dv / dw = (w + 634.5) mm / radianes.