¿Cómo se relaciona la proporción áurea con las series de potencia?

Aquí hay dos representaciones de series de poder de la Proporción Dorada, que se pueden verificar con Mathematica:

[matemáticas] \ displaystyle \ phi = \ frac {13} {8} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n + 1} (2 n + 1)! } {4 ^ {2 n + 3} n! (n + 2)!} [/ matemáticas]

La expresión anterior se puede representar como:

• [matemáticas] \ displaystyle \ phi = \ frac {13} {2 ^ 3} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ {n + 1} C_ {n + 1 }} {2 ^ {4 n + 7}} [/ matemáticas] (1)

donde [math] C_n [/ math] es el número catalán definido como:

[matemáticas] \ displaystyle C_n = \ frac {\ binom {2 n} {n}} {n + 1} = \ frac {(2 n)!} {n! (n + 1)!} [/ matemáticas]

Y la segunda serie:

[matemáticas] \ displaystyle \ phi = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ {n + 1}} {F_n F_ {n + 1}} [/ math]

donde [math] F_n [/ math] es el número de Fibonacci que satisface la fórmula de recurrencia:

[matemática] \ displaystyle F_n = F_ {n – 2} + F_ {n – 1} [/ matemática], y con [matemática] \ displaystyle F_ 1 = F_ 2 = 1 [/ matemática]

Se pueden encontrar otras series y expresiones similares a (1) , como las siguientes (verificadas con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle \ phi = \ frac {54292217} {2 ^ {25}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ {n + 7} C_ {n +7}} {2 ^ {4 n + 31}} [/ matemáticas]

Para obtener más información y detalles sobre este tema, consulte los siguientes enlaces relevantes:

Golden Ratio – de Wolfram MathWorld

¿Cuántas representaciones en serie infinitas de la proporción áurea existen?

Encontrar familiares de la serie $ \ varphi = \ frac {3} {2} + \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \ frac {(2k)!} {(K + 1)! K! 2 ^ {4k + 3}} $.