¿Es el conjunto de todos los espacios métricos un subconjunto del conjunto de todos los grupos?

En la teoría de conjuntos ingenua, podemos demostrar que el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos existe y, si se contiene a sí mismo, no existe, y si no lo hace, lo que demuestra que la teoría de conjuntos ingenua es contradictoria. Esa contradicción se llama la paradoja de Russel. Por esa razón, se abandonó la teoría de conjuntos ingenua y se inventó la teoría de conjuntos de Zermel-Fraenkel. Se ha demostrado que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no es contradictoria. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, no podemos asumir que el conjunto universal existe puede demostrar que no existe al demostrar que si existe, uno de sus subconjuntos es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. De manera similar, podemos demostrar que el conjunto de todos los grupos no existe. Sin embargo, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel hace suposiciones a partir de las cuales podemos demostrar la existencia de un conjunto que es la unión de la secuencia de conjuntos donde el primer término de la secuencia es el conjunto de todos los enteros positivos y cada término posterior de la secuencia es El conjunto de potencias del término anterior de la secuencia. New Foundations es otra teoría de conjuntos que no es contradictoria, pero en esa teoría de conjuntos, puede probar la existencia del conjunto universal y no puede probar su inexistencia. En Fundamentos nuevos, también puede probar que el conjunto universal no tiene un subconjunto que es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. Esto puede explicarse por el hecho de que solo los conjuntos cantorianos deben satisfacer las propiedades intuitivas de un conjunto y el conjunto universal no es cantoriano. Sin embargo, puede demostrarse en esa teoría de conjuntos que el conjunto de potencias de cualquier conjunto cantoriano es estrictamente mayor que el conjunto en sí mismo y es un conjunto cantoriano y que existe un conjunto que es la unión de una secuencia de conjuntos que describí anteriormente y es un cantoriano. conjunto.

Fuentes:

• La paradoja de Russell – Wikipedia
• Teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel – Wikipedia
• Nuevas fundaciones – Wikipedia
• Teoría de conjuntos – artículo de enciclopedia – Citizendium

Los espacios y grupos métricos son estructuras matemáticas bastante diferentes.

La definición de un espacio métrico y la definición de un grupo implican una operación binaria. Pero sus definiciones también involucran otras cosas que los hacen distintos entre sí. De hecho son mutuamente incompatibles. En un grupo, sus condiciones en la operación binaria requieren que todos los elementos tengan un inverso. Pero en una métrica, las condiciones de la operación binaria prohíben que existan tales inversos para todos los elementos.

Otra diferencia es que una métrica siempre asigna dos elementos del espacio a un número real, mientras que la operación binaria de un grupo siempre asigna dos elementos del grupo a otro elemento del grupo, y un grupo en general no es necesariamente siempre el real. números.

No existe el conjunto de todos los grupos.

Tampoco hay un conjunto de todos los espacios métricos.

Y no, métrica es simplemente una función que asigna dos puntos de un espacio a la distancia entre ellos. Por lo tanto, el espacio métrico no está cerrado a continuación.